J^röme Franel. 



oü a est nul ou positif, reste, poiir toute valeur de n, inferieur i 

 ä un nombre fixe c, la serie 



An 



converge pour toutes les valeurs de s dont la partie reelle (que 

 nous desigiierons par R{s)) est > a. 



Posons ^1 -j-^aH +.4„ = Z?„, d'oü 



A„ = B„-B^_,, A^ =5,. 

 Je dis que la serie 



(2) y B fJ L_^ 



est absolument convergente lorsque R (s) > a. 



En effet, soit s = x-{-iy, x et ?/ etant reels, «> et designons 

 par ?•„ le module de 



On a: 



d'oü 



,.3 _ rj_ _ 1 -1^ . , ^in^[|iog(i+i)] 





Le module du terme general de la se'rie (2) est done inferieur ä 



x+\y\ 



cette serie converge des lors absolument pour x > a. Mais si 

 Ton appelle s„ et S„ les sommes des n premiers termes dans les 

 series (1) et (2) on a 



, =S ^^ 



et comme lim (^^^^)"^,y = 0, x etant > a, il en resulte 

 lim .s„ = lim 6'„, ce qui etablit le theoreme. 



