Sur la fonction ,^ (0 de Riemann et son application ä l'arithmetique. 9 



Theoreme II. Si la serie 



?!= 00 





Ar, 

 n = 1 



coiiverge pour s = a + iß, oü a et ß sont reels et « > 0, eile 

 converge encore pour toutes les valeurs de s telles que R{s)>a ; 

 en outre le module de 



^, + • • • + An 



n^ 



reste, quelque soit », inferieur ä uii nombre fixe. 

 En effet, posons: 



A H ^ H h —4^ = Sn, d'oü 



^„ = ('5„->S„-i)^^« + ^A ^, = '^\' 



on aura: 



A,-^A,-\ h^„=5i(l-2« + ^-0-f-'^3(2«^''^-3« + ^'^) + --- 



Le module de aS'„ est, pour toute valeur de n, inferieur a un 

 nombre fixe c, celui de 



(,._l)« + '-/^_r« + ^'/^ est <j-" — (r— l)« + 2l/5|r«-i, 



de Sorte que 



|^^_|.... + ^J<c(2«-H-3«-2«H h^^"-0^-l)« + 'i") 



H-2c|ßl(l + 2«-i^ hu«-i) 



d'oü l^'+---+^"l < c' 



c' etant une grandeur fixe convenablement choisie. 



En vertu du theoreme I la serie proposee converge donc 

 lorsque R {s) > a. 



Des resultats qui precedent on tire facilement les conclusions 

 suivantes : 



