10 J^röme Franel. 



Une Serie de la forme Z ^;- converge uniformement dans 

 toute region «nie de son domaine de convergence; eile represente, 

 dans ce domaine, une branche uniforme de fonction analytique/(s)i 

 reguliere ä distancc finie. 



Si ^. + ----l-^n Bn . ^,, 

 V- =^«^ «^Ö 



augmente indefiniment avec n mais de maniere que f" tende 

 vers avec -- , e etant une quantite positive aussi petite qu'on 

 le veut, la serie E—^ converge pour U{H)>ct. 



Reciproquement si la Serie 2:— ;' converge pour Ä(s)>«>0 



^7^ tend vers avec ^, pour toute valour positive de £ si petite 

 qu'elle soit. 



La Serie Z-^log^— ) a meme domaine de convergence 



que la serie Z ^==fU)- eile a pour somme la derivee / {s). 



La serie — _^' -_^, converge egalement dans la meme 

 region et a pour somme 



IL 



Faisons, avec Riemann, 



oii le produit s'e'tend ä tous les nombres premiers, puis 



^•W = .-^r(|).-^rW=/-(i-.). 



Ell posant s = ^ + it, F(s) = 'i{t), on a: 



