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Sur la fonction ^"(0 de Riemann et son appHcation ä rarithmetique. U 

 ^^(0 = T - (*' + t) / V'(^)«^ "'^'- cos (lloga^) fZa^ 



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« = 00 „ 



oü i/' (cc) = ^ e 



Les racines de l'equation F(s) = ont leur partie reelle 

 comprise entre et 1. Soit K le nombre de ces racines dont la 

 partie imaginaire est comprise entre et i h, h etant une quantite 

 positive donnee. Pour evaluer ce nombre considerons dans le plan 

 de la variable s = x-{-ii/ un contour MABH forme du segment 

 MA de l'axe des x dont les extremites ont pour abscisses y et 

 «>1, d'une courbe AB situee en entier dans la region du plan 

 definie par l'inegalite a? > l et d'une parallele ä laxe des x, B H 

 dont l'ordonnee = li et dont le point terminal H a pour abscisse y 

 Si l'on part du point M avec une certaine determination de 

 log F (-^) puis qu'on decrive le contour ainsi defini et ensuite le 

 contour symetrique par rapport ä la droite x = -^^ la difference 

 des valeurs obtenues en H pour \ogF{s) sera egale ä 2 7ciN. 

 Dans la partie du plan definie par l'inegalite x>l l'une quel- 

 conque des determinations de logi^(6) est une fonction uniforme de s. 



De l'equation jP(6) = i'^Cl - s) et de ce qii'ä des valeurs ima- 

 ginaires conjuguees de la variable correspondent aussi des valeurs 

 imaginaires conjuguees de F{s) resulte que l^tN est egal ä deux 

 fois l'argument de F{s) au point B plus deux fois l'accroissement 

 eprouve par cet argument lorsqu'on passe de B en H suivant la 

 ligne droite B H, si l'on convient de choisir l'argument de F{s) 

 au point .-i egal a 0. L'abscisse du point B surpasse l'unite d'aussi 

 peu qu'on le veut. On peut demontrer que l'accroissement eprouve 

 par l'argument de i^(6) lorsqu'on decrit le segment rectiligne 5 ii' 

 reste, quelque soit li, inferieur ä une grandeur fixe. 



De la formule 



log u (.) = - 2;iog (i-^.) =^ 2;l-f-|2:^+. • . 



