Sur la fonction 1(0 de Riemann et son application ä l'arithmetique. 13 



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|(f) = 1 — («2 + I) j V (*) ^~ '' cos (y log x) d X, 



011 a tout d'abord, pour les valeurs de a;>l xl^{x)<ce-'''^, c de- 

 signant une constante que l'on peut choisir egale ä 1 + iööüO*^'^" 

 Le module de l'integrale est donc inferieur ä 



c \ e x^ dx<c ^, 



oü Q^\t\, de Sorte que !i(OI ne croit pas plus rapidement, 

 avec Q, que c^^"^^. 



Faisons, pour uii instant, 



m = n{i-^), d'oü 



log/(0==^log(l-J). 



Nous choisissons dans le second membre les valeurs princi- 

 pales des logarithmes, puis nous effectuons, dans le plan de la 

 variable t, une coupure le long de l'axe des quantites reelles. 



Dans chacun des demi-plans restants log/(e) est alors une 

 fonction uniforme de t. Divisons les racines a en deux classes; 

 mettons dans la premiere Celles qui sont <\t\ = Q et que nous 

 designerons par a et dans la seconde Celles qui sont > q et que 

 nous appellerons a" . On a: 



t\ r 2tdt _ r 2ze''v d^ 

 log ( 1 — f^l == J F^=7^ ^ J ^' e'ii' - er' 







(p designant l'argument de t, d'oli: 



.og(l-41)l<.fe = log(^) 



^ n 



(') Hadamard, Etüde sur les proprietes des fonctions entieres etc. Journa 

 de C. Jordan t. X 1893, p. 211. 



