14 J^röme Franel. 



et, par-consequent, 



log 1 rr^]\ <--^,. 



11 en resulte: 



On trouve facilement, au moyen de la formule (2), que la 

 ne 2. -TT- est de I ordre de — ^^. 



D'autre part de l'equation 







on tire: 



!iog(i-^)'< / ^"" ^ ^ {]- ."" 



u 



puis: 



log 1 — ^ < ö log = .: . . ^ < log >, : „ 



de Sorte que: 



2:\]og(l-~)\<2Q yjl^K'\og(-Ar-) 



I '=' \ « ^ / ! ^ (c ° \sin- ff / 



X' designant le nombre des racines a. Le seeond membre de 

 cette derniere inegalite croissant avec q comme q log q, on en 

 conclut que le module de f(t) est de I'ordre de e-'"ei?. Par con- 

 sequent le module de la fonction e^<'"' croit avec q moins rapide- 



nient que e- , A etant un exposant qui surpasse l'unite d'aussi 

 peu qu'on le vent. La fonction G(t^) est donc identiquement 

 nulle et la formule {'■'>) sc reduit ä: 



(4) B(t) = s(o)n{i-^). 



La fonction '^(t), conside'ree comme fonction de t', est donc 

 bien du genrc 0. 



On sait, que M. Hadamard a demontre cette importante pro- 

 position comme cas particulier d'un the'oreme general sur les tone- 



