Sur la fonction 1(0 de Riemann et son application ä larithmetique. 15 



tions entieres(0. En s'appuyant sur le resultat de M. Hadamard, 

 M. de Mangoldt(2) a etabli ensuite la formule (2) relative au 

 nombre N des racines comprises entre et h. 



Nous avons simplement clierche ä developper la pensee de 



Riemann. 



Par des considerations toutes semblables on verra que le 



module de 



^^ reste inferieur ä A\og-\s\. 



A etant une constante convenablement choisie, si Ton exclut 

 du plan de la variable s les environs du point s = \, la partie 

 negative de Taxe des quantites reelles et la droite R (s) = ^ . 



IIL 

 De l'equation 'C(s)-=n- ^, ontire: 



oii J„ est nul quand n est divisible par plusieurs nombres preniiers 

 differents et egal ä log p quand n est divisible par le seul nombre 

 premier p. 



Multiplions les deux membres de l'equation (1) par ^^. If j- 

 011 h est une quantite positive que, pour simplifier, nous suppose- 

 rons differente d'un nombre entier puis integrons le long d'une 

 parallele ä l'axe des y, x = a («>!) entre les limites y^ — R 

 et y = R. La serie dans le second membre convergeant uniforme- 

 ment dans la region que definit l'inegalite x>l, on pourra inte- 

 grer terme a terme, de sorte que: 



(>) Hadamard, Etüde sur les proprietes des fonctions entieres etc., 

 memoire couronne par l'Academie des Sciences de Paris, Journal de Math, 

 pures et appliquees t. X, 1893. 



(•-) Mango] dt (H. von). Zu Riemanns Abhandlung ,Ueber die Anzahl 

 der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" Journal de Grelle t. 114. 



