Sur la fonction i{t) de Riemann et son application ä l'arithmetiqiie. 1 7 

 On peilt evaluer riiitegrale: 



a + iR 

 a—iR 



d'une autre maniere, en integrant le long du rectaiigle forme par 

 les quatre droites x = a, y = R, x = h, y = — li, h etant une 

 quantite negative, aussi grande qu'on le veut en valeiir absolue, 

 et en retranchant du re'sultat les integrales relatives aux trois 

 derniers cötes et que nous designerons respeetivement par /, , I^ et I^. 

 En vertu de la remarque faite ä la fin du paragraphe II 

 on aura: 



a 



l j. , A r log2 \s\.JFdx . . . „^ 



I ^1 I < 27^ j !7| ' G^ = ^ + ^ ^) 



Soit £ une quantite positive quelconque inferieure ä Tunite 

 "^ i''^ etant constamment < -^r^, , il en resultera : 





e.log/i' 

 b 



inegalite qui subsiste evidemment pour l'integrale 73. 



Seniblablement: 



+ R 



I ^2 I < iv J ^°§" 1 ^ I M ' (^ = ^^ + ^v) 



ou encore: 



(5) |7l<i4/i^i^ 



Quant ä l'integrale I relative au rectangle eile s'obtient im- 

 niediatement par l'application du theoreme de Cauehy sur les 

 residus. Elle a pour expression : 



(6) / = - 7(5-, 4 /, + , ^ ~ - J^ (^^^ + ^- j 



La somme ^ — — qui doit s'etendre aux valeurs entieres 

 et positives de «< — ~ est inferieure ä — log ( 1 — y^l. 



Vierteljalirsschril't d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. XLI. Jubelband II. 2 



