Sur la fonction i {() de Rieiiiann et son application ä rarithmetique. 19 



ou |;i(/01 i-este inferieur, quelque soit /^ ä une grandeur fixe 

 assignable. De cette formule (9) et des theoremes du premier para- 

 graphe resulte que la serie 



oü J3„ = 1 - log p quand n est un nombre premier p et egal ä 

 Ynmte quand n est un nombre compose, est convergente pour 

 toutes les valeurs de s dont la partie reelle est > ^, les termes 

 etant ranges par ordre des nombres n croissants. Sous cette 

 derniere condition la serie 



2 



»■« log 1' 



converge dans le meme domaine, de sorte que 



= E(l 



ii=E(h] 71 

 n = 2 " 



est de l'ordre de /i^ ^^ oü £ est positif mais aussi petit qu'on le 

 veut. Mais cette derniere somme n'est autre chose que 



n=E (h) -. 



F(K) designant le nombre des nombres premiers inferieurs ä h. 

 On peut donc faire: 



(10) i-« = /Ti^ + ''^''-^'U'0, 



2 



£ etant une quantite positive mais aussi petite qu'on le veut et 

 i\ (h) tendant vers quand //, augmente indefiniment. 



La demonstration complete de ce theoreme fondamental est 

 ainsi ramenee a cette autre proposition: toutes les racines de 

 l'equation ^(0 = (^ sont reelles. 



Connaissant l'expression asymptotique de F (Ji) on pourra 

 calculer avec une approximation correspondante la somme ^(p{p), 

 etendue ä tous les nombres premiers < h, ff (x) etant une fonction 

 donnee de la variable x. 



