Zur Theorie der Scharen bilinearer Formen. 



Von 

 (wporg Frobenius in Berlin. 



(Auszug aus einem Briefe an K. Weierstrass.) 



Zürich, November 1881. 



Bei unserer letzten Unterredung in Berlin haben Sie mich 

 auf ein merkwürdiges Resultat aufmerksam gemacht, welches Sie 

 in der Theorie einer speciellen Art von bilinearen Formen erhalten 

 hatten. Ihrer Aufforderung entsprechend habe ich dasselbe mittelst 

 der Methode hergeleitet, die ich in meiner Arbeit Ueber lineare 

 Substitutionen und bilineare Formen (Grelle"« Journal Bd. 84) 

 dargelegt habe, und die im wesentlichen mit der identisch ist, 

 welche Sie in den Berliner Monatsberichten vom Jahre 1858 ent- 

 wickelt haben. Erlauben Sie mir, mich bei der Darstellung der 

 Kürze halber der symbolischen Bezeichnung füi- die Zusammen- 

 setzung von bilinearen Formen zu bedienen, die ich in jener Ar- 

 beit angewendet habe. Die folgende Deduktion ist dann ganz 

 analog der daselbst Seite 51 — 5:^ über die orthogonalen Formen 

 durchgeführten. 



Seien : 



P = -Py.). ^'y. !// . Q = 'Ay.l ^y V). 

 y. K y, /. 



zwei bilineare Formen von n Variabeinpaaren .Tj, ?/,,... a?,„ y„, 

 seien p^) und p^y konjugiert komplexe Grössen und ebenso q^j und 

 q)y. Sei die Determinante n-iew Grades \Py,}.\ von Null vei'schieden, 

 dagegen q^.) nebst einer gewissen Anzahl von Unterdeterminanten 

 Null. Wenn x; und //; konjugiert komplexe Werte haben, sei die 

 Form (^ niemals negativ. Aus den bekannten Sätzen der Differential- 

 rechnung über Maxima und Minima folgt daraus, worauf Sie mich 

 noch aufmerksam machten, dass Q nur für solche AVerte von 

 j\,...x„ verschwinden kann, für welche die Ableitungen von Q 



