Zur Theorie der Scharen bilinearer Formen. 21 



nach iji, . ■ ■ l/,, sämtlich Null sind. Sei nun: 



(1) (Q — r Pr^ = A r- « + £ r- " + 1 + • • • . 

 und zwar sei die bilineare Form : 



A = Ißyj ^y Vi 



nicht identisch Null. Dann sind auch a.^i und ({^y konjugiert 

 komplexe Grössen, und ebenso h^j und &;^, falls: 



y.J. 



ist. Ihr Resultat ') besteht nun darin, dass nicht a > 2 sein kann. 

 Um dies zu beweisen, nehme ich an, dass a > 1 ist, und zeige, 

 dass dann notwendig « = 2 sein muss. 



Setzt man beide Seiten der Gleichung (1) mit Q — r P zu- 

 sammen, so erhält man: 



(2) ^-(Ar-« + J5r-«+i+...) [Q -^ r P), 



und daraus durch Vergleichung der Koefficienten von r- « und 

 f-«+i. weil «>1 ist: 



(3) AQ = Q 

 und: 



(4) AP=BQ. 



Daher kann B Q nicht identisch verschwinden. Denn sonst 

 wäre AP=0, und weil die Determinante von P von Null ver- 

 schieden ist, A = 0. Mithin kann auch die Form B Q B nicht 

 Null sein. Denn der Koefficient von a,, ?/,, in BQB ist: 



y.,L 



Dies ist der Wert der Form Q für: 



'^y. = ^>ry. ' Vy. = ^y.v (/. = 1, 2, . . . ll), 



also für konjugiert komplexe Werte von x^ und y^. Wäre also 

 dieser Ausdruck Null, so müssten auch die u Ausdrücke: 



^l>vy<ly.l (A=l,2,...;0 



y. 



verschwinden. Wenn dies für r = 1, 2, . . . n der Fall wäre, so 

 müssten alle Koefficienten der Form B Q verschwinden. 



') Vgl. auch Gundelfinger, Vorlesungen aus der analytischen Geometrie 

 der Kegelschnitte, Leipzig 1895, Seite 74. 



