22 Georg Frobenius. 



Nachdem so festgestellt ist, dass die Füiiii B Q B niclit ver- 

 schwindet, kann nun Ihre Methode angewendet werden. Aus der 

 Gleichung (1) folgt durch Zusammensetzung mit P: 



(P-* Q-rE)-"^ = .4P;-" — PP;-«+^ -+-••• 



Mithin sind die Formen .1 P, BP,... mit einander ver- 

 tauschbar (1. c. § 3, IX). Indem man diese Gleichung mit sich 

 selbst zusammensetzt, findet man : 



(5) [P-' Q — r E)- - - A PA Pr' " " — 2 A PB Pr" " "+ ^ -^ 



Indem man aber jene Gleichung nach r differentiirt, erhält man : 



(0) (P-^ Q — rE)-'^ = —aAPr-''-' - [a - l) B P r'" — ■ 



Aus diesen beiden Entwicklungen folgt zunächst, dass 

 .-1 P .4. P = ist. Denn sonst ergäbe die Vergleichung der 

 Exponenten der Ant'angsglieder — 2 « = — a — 1, also a — 

 Dagegen ist APBP von Xull verschieden, denn nach (4) ist: 



(AP) (P P) = (P Q) (BP) =^{BQB) P, 



also nicht Null, da die Determinante von P nicht verschwindet. 

 Durch Vergleichung der Exponenten der Anfangsglieder folgt daher 

 — 2 « -f- 1 = — a — 1 , « = 2. 



Ich wende mich nun zu einem andern Gegenstand, den Sie 

 mit mir besprochen haben. In der Einleitung meiner Arbeit 

 Theorie der linearen Formen mit ganzen Koefficienten 

 (Crelle's Journal. Bd. 86.) zeige ich, dass für die Aequivalenz 

 zweier Scharen von bilinearen Formen die folgenden Bedingungen 

 notwendig und hinreichend sind: In einem gewissen Systeme von 

 2 )).- homogenen linearen Gleichungen zwischen 2 n^ Unbekannten 

 p,.f^ und sj., muss die Determinante verschwinden: und man muss 

 den willkürlichen Konstanten, die in ihre allgemeinste Lösung ein- 

 gehen, solche Werte beilegen können, dass die beiden Determinanten 

 ;<-ten Grades: 



P = 'Pycc^ s = \s^j,\ 



von Null verschieden werden. 



Gegen die Bündigkeit des Beweises ist, wie Sie ausführten, 

 zwar nichts einzuwenden. Dennoch ist das Resultat höchst be- 

 fremdend und bedarf einer weiteren Aufklärung. Damit zwei 



