Zur Theorie der Scharen bilinearer Foz-men. 23 



Scharen bilinearer Formen aequivalent sind, müssen ihre De- 

 terminanten übereinstimmen. Diese sind ganze Funktionen n-ten 

 Grades des Parameters der Schar. Ihre Uebereinstimmung er- 

 fordert also n Bedingungen. Statt dessen ergiebt sich auf dem 

 von mir eingeschlagenen Wege nur eine Bedingung. 



Bei weiterem Nachdenken fand ich die Auflösung dieses 

 Paradoxons, das auch mir schon aufgefallen war, in dem Um- 

 stände, dass eine Schar von bilinearen Formen immer eine 

 Substitution in sich selbst zulässt, deren Koefficienten mindestens 

 n willkürliche Konstanten enthalten. Sind daher zwei Scharen 

 von bilinearen Formen aequivalent, so muss auch die allgemeinste 

 Transformation der einen in die andere mindestens it willkürliche 

 Konstanten enthalten. Ausser der oben erwähnten Determinante 

 vom Grade 2 ir müssen folglich auch alle ihre Unterdeterminanten 

 von den Graden 2 «^ — 1, 2n' — 2, . . . 2 n^ — n + 1 verschwinden. 

 Sonst können sie keine Lösung haben, für welche die beiden De- 

 terminanten n-ten Grades jj und s von Null verschieden sind. 

 Eine genauere Diskussion jener 2 <r linearen Gleichungen wird sich 

 wohl kaum ausführen lassen, wenn man nicht die Schar bilinearer 

 Formen, aus der sie entspringen, auf die reduzierte Form gebracht 

 voraussetzt. 



