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drei Halhkaiitcii 1 f:2 G. :'. :.). 2 {:'. 4, 1 (ij, :i (1 5, 1 4). Dadureli er- 

 geben sitli. (k'ii sechs l'ermutatioiien der olioni diei Zahlen ent- 

 Sjtreeliend, sechs N'erschiedcne Sclireibarten einer nnd dei'selben 

 Nebenecke. 



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Aus den zwanzig Seitenflächen lassen sich auf zwTd f 

 verschiedene Arten zehn absondern (aus jedem Paare von 

 Gegenebenen des Sechsecks eine), so dass durch jede Ecke fünf, 

 durch jede Kante zwei derselben gehen. Man gelangt in folgender 

 Art zu diesen Gruppen: Indem man zunächst von der Ecke 1 ab- 

 sieht, wird man aus dem übrig bleibenden vollständigen Fünfeck 

 2 'i 4 5 G zwölf verschiedene einfache Fünfecke (oder was das näm- 

 liche bedeutet: einfache Fünfseite) absondern können, von denen 

 je zwei zusammengehören, die keine Seite gemein haben. Die 

 Seiten des einen sind die Diagonalen des andern. Die Ebenen, 

 die von 1 aus nach den Seiten des einen Fünfecks gehen, zusammen- 

 genommen mit den Gegenebenen derjenigen, welche von 1 nach 

 den Seiten des zugehörigen Fünfecks führen, bilden eines der ver- 

 langten Dekaeder. Diese Gegenebenen sind zugleich diejenigen 

 Seitenflächen des vollständigen Sechsecks, welche von den Seiten 

 des ersten Fünfecks zu den Gegenecken führen '), so dass ein ein- 

 ziges einfaches Fünfeck zur Herstellung des Dekaeders genügt. 



Als Beispiel mögen die beiden zusammengehörigen Fünfecke 

 2 8, 3 4, 4 5, 5 (i. <! 1 und 2 4, 4 6, 6 3, 8 5, 5 2 dienen. Das erste 

 erzeugt das Dekaeder 12 3, 13 4, 14 5. 1 5 (3, 1 6 2, 3 5 6, 2 3 5, 

 2 4 5, 2 4 (), 3 4 6, das andere ergibt ein gegenüberliegendes 

 Dekaeder 1 2 4, 1 4 6, 1 6 3, 1 3 5, 1 5 2, 4 5 6, 2 5 6, 2 3 6, 2 3 4, 3 4 5. 



Alle einfachen Fünfecke, welche das nämliche Dekaeder er- 

 zeugen, werden aus einem von ihnen wie folgt abgeleitet: Man 

 lässt eine der fünf Ecken weg und fügt zu der gegenüberliegenden 

 Seite die beiden von deren Endpunkten ausgehenden (nicht nach 

 dieser Ecke gerichteten) Diagonalen, so wie die Geraden, welche 

 die zweiten Endpunkte der genannten Diagonalen mit der sechsten 

 Ecke des Sechsecks verbinden. Man erkennt auch, dass irgend 

 eine der zwölf aus 1 hervorgehenden Gruppen sich gegen alle 



') \n einem einfachen Fünfeck stossen an eine Seite zwei andere; die 

 beiden infriffblci banden sehneiden sich in der Gegenecke der ersten Seite. 



