Das räumliche Sechseck und die Kummer'sche Fläche. 27 



sechs Ecken vollkommen gleich verhält, so dass keine andern der- 

 artigen Kombinationen gebildet werden können. 



Die zehn Ebenen eines Dekaeders schneiden sich ausser in 

 den fünfzehn Kanten noch in dreissig Halbkanten, von denen je 

 fünf durch eine der Ecken gehen. Von den Schnittpunkten der 

 Dekaederebenen, welche nicht zugleich Ecken sind, liegen auf 

 jeder Kante zwei, was zu dreissig Punkten Veranlassung gibt. 

 Ausser diesen treten noch dreissig Nebenecken auf, sie sind so 

 verteilt, dass in jeder Dekaederebene deren neun, auf jeder dem 

 Dekaeder angehörigen Halbkante deren drei liegen. 



HI. 



Aus den beschriebenen dreissig Nebenecken des 

 Dekaeders scheiden wir eine Gruppe von zehn in folgen- 

 der Weise ab: Eine Halbkante, die durch eine bestimmte Ecke 

 geht und welche als Schnitt zweier Flächen des Dekaeders er- 

 scheint, sondert aus demjenigen einfachen Fünfeck der übrigen 

 Ecken, das zur Erzeugung des Dekaeders benutzt werden muss, 

 zwei nicht aufeinanderfolgende Seiten aus, zu deren Bildung vier 

 Ecken nötig sind. Die fünfte Ecke und die ihr gegenüberliegende 

 Seite bestimmen eine Seitenfläche, die auf der gewählten Halb- 

 kante eine Nebenecke aus der gesuchten Gruppe ergibt. Da durch 

 dieses Verfahren auf jeder der dreissig zum Dekaeder gehörigen 

 Halbkanten eine Nebenecke hervorgeht, die Nebenecke aber aus 

 drei verschiedenen Halbkanten in durchaus gleicher Art gebildet 

 werden kann, so besteht die Gruppe in der That nur aus zehn 

 Punkten. (Es ist leicht einzusehen, dass in jeder Dekaederebene 

 drei derselben liegen.) 



Soll rückwärts aus einer gegebenen Nebenecke die Gruppe, 

 welcher sie angehört, gefunden werden, so beachte man, dass die 

 Nebenecke mit Ausschluss einer beliebigen Ecke des Sechsecks 

 sofort ein unzweideutig das zugehörige Dekaeder erzeugendes ein- 

 faches Fünfeck bestimmt; d. h.: aus den zwölf Dekaedern gehen alle 

 hundert und zwanzig Nebenecken und zwar jede nur einmal hervor. 



Fügt man hinzu, dass die dem oben zuerst angegebenen, aus 



2 3, 3 4, 4 5, 5 6, 6 2 hervorgehenden Dekaeder entsprechende 



Gruppe von den Punkten 



12 3\ /13 4\ A4 5\ /15 6\ A 6 2\ /ö 2 3\ /6 3 4\ /2 4 5\ (3b6\ /'4 6 2\ 

 5 4 0/ \6 5 2J V2 6 3J ^3 2 4 j \4 3 5/ U ö 4 j U2 5J \13 6) \14 2/ \\5 3l 



