über die Kettenbi-üche, deren Teilnenner arithmetische Reihen bilden. 35 

 Die resjelmässisren Kettenbrüche von der Gestalt 



(3) (cio, ai, a,_i, <jPi (m), g)., (m), 9« ()ii)), 



wo (pi (m), (p2 (m), . . . . (pu (m) ganze rationale Funktionen des Argu- 

 mentes m bezeichnen, sind es, welche den Gegenstand dieser 

 Abhandlung bilden. Die charakteristische Eigentümlichkeit dieser 

 Kettenbrüche besteht darin, dass die Teilnenner von einem 

 bestimmten (a^) ab, jc in einander geschachtelte arithmetische Reihen 

 bilden. Denn die der einzelnen Funktion cp,. (^)ii) entsprechenden 

 Teilnenner 



qp,. (1), (p,. (2 ), qp,. (3), .... 



bilden eine arithmetische Reihe und umgekehrt sind die Glieder 

 einer beliebigen arithmetischen Reihe bekanntlich als die Werte 

 einer ganzen rationalen Funktion eines positiy-ganzzahligen Argu- 

 mentes darstellbar. Den Grad dieser ganzen Funktion werde ich 

 (in unwesentlicher Abweichung von der üblichen Terminologie) als 

 die „Ordnung" der arithmetischen Reihe bezeichnen. Hiernach ist 

 also n die Ordnung einer arithmetischen Reihe, wenn die (n + 1)*" 

 Differenzenreihe die erste ist, deren Glieder sämtlich verschwinden. 

 Der höchste unter den Graden der Funktionen qp, , qpo, . . . , qp« möge 

 die „Ordnung" des Kettenbruches (3) heissen. 



Zu den hier betrachteten Kettenbrüchen gehören insbesondere 

 die regelmässigen periodischen Kettenbrüche. Diese entsprechen 

 dem Falle, wo die Funktionen (p,, qP2, . • . fpn sich sämtlich auf Konstante 

 reduzieren, wo also die Ordnung des Kettenbruches (3) gleich ist. 



Bezeichnet ferner e, wie gewöhnlich, die Basis der natürlichen 

 Logarithmen, so besitzt die regelmässige Kettenbruchentwicklung 



der Zahl 



ae + ß 

 ye+ä 



stets die Gestalt (3). Dabei bedeuten a, ß, y, d irgend vier ganze 

 Zahlen, die nur der Einschränkung unterliegen, dass « ö — ßy nicht 

 verschwinden darf. Und zwar ist der Kettenbruch für die Zahl 



"^"T V immer von der Ordnung 1. 



ye + d 



Diese merkwürdige Eigenschaft der Zahl e (die übrigens auch 

 den Zahlen ye und e'- zukommt) habe ich in einer Notiz, die in den 

 Berichten der physikalisch-ökonomischen Gesellschaft zu Königsberg 

 i. Fr. vom Jahre 1891 erschienen ist, ohne Beweis mitgeteilt. Sie 



