3() Adolf Hurwitz. 



wird sicli weiter unten als eine einfache Folgerung aus einem 

 allgemeinen, die Kettenbrüche (3) betreffenden .Satze ergeben. 



1. 



Bevor ich mich dem Gegenstande dieser Abhandlung zuwenden 

 kann, muss ich einige bekannte Sätze in Erinnerung bringen. 



Während sich eine irrationale Zahl nur auf eine Weise in 

 einen regelmässigen Kettenbruch entwickeln lässt, ist dies für eine 

 rationale Zahl nicht der Fall. Vielmehr gilt der Satz: „Jede 



rationale Zahl— lässt sich auf zwei Arten in einen regelmässigen 



Kettenl)ruch 



(1) ^ = («,,«,..... a,) 



entwickeln. Bei der einen Entwicklung ist r eine gerade, bei der 

 anderen Entwicklung ist r eine ungerade Zahl." 



Beispielsweise ist — ~ = ( — 2, 1, 3) = ( — 2, 1, 2, 1). Allgemein 



erhält man die eine Entwicklung aus der anderen dadurch, dass 



man den letzten Teilnenner a^ der letzteren durch a^ — 1 -i — r- 



ersetzt. 



Ein weiterer Satz, auf den ich mich später zu beziehen habe, 

 lautet : 



„Hat man den reduzierten Bruch — , dessen Nenner positiv sei, 



in die Gestalt (1 ) gebracht, so ist, unter z eine willkürliche Grösse 

 verstanden, 



(2) («„a„.....„^) = |j±f , 



wo die ganzen Zahlen p , q die Gleichung 



(3) V'l-(lP-{-n 

 und die Ungleichung 



(4) ^<q <(l 

 befriedigen." 



Die Gleichheitszeichen treten in (4), beiläufig bemerkt, nur in 



Kraft, wenn 2 = 1, also — eine ganze Zahl ist. In diesem Falle ist 

 entweder r=l und = r/ oder r = 2 und y' = (/— 1. 



