über die Kettenbrüche, deren Teilnenner arithmetische Reihen bilden. 37 



Gehörten die bisher erwähnten Sätze der Lehre von den 

 Kettenbrüchen an, so die nun folgenden der Theorie der linearen 

 ganzzahligen Transformationen. 



Besteht zwischen zwei Grössen x und ij eine Relation der 

 Gestalt: 



WO ß,ß,}^,ö ganze Zahlen bezeichnen, die der Bedingung aö — ßy = + 1 

 genügen, so heissen die beiden Grössen „aequivalent". Lagrange 

 hat nun bekanntlich bewiesen, dass zwei aequivalente Grössen x 

 und D stets gleichendende Kettenbruchentwicklungen besitzen. 

 D. h.: Sind: 



X = (ai, ru, rt„ rt,.,i, ) 



.V= (?^n ^2 ^» ?^..i> ) 



die regelmässigen Kettenbrüche für irgend zwei aequivalente 

 Grössen x und y, so kann man die Indices r und s stets so aus- 

 wählen, dass die Zahlen 



der Reihe nach bez. gleich sind den Zahlen 



Man denke sich jetzt, dass in der Gleichung (5) x einen be- 

 liebig, aber fest angenommenen Wert besitzt und dass a, ß, y, d 

 alle Systeme von ganzen Zahlen durchlaufen, die der Gleichung 



ad — ßy = +'^ 



genügen, wo n eine beliebig, aber bestimmt gewählte positive 

 ganze Zahl bezeichnet. Unter den unendlich vielen Grössen y, 

 die so entstehen, gibt es dann nur eine endliche Zahl von inaequi- 

 valenten. Es gilt nämlich der folgende (aus der Theorie der Trans- 

 formation der elliptischen Funktionen bekannte) Satz : 



„Jede Grösse " , ^ {ad — ßy=+n) ist einer der Grössen 

 (6) rx — t 



aequivalent, wo r, t, s nicht negative ganze Zahlen bedeuten, die 



