38 Adolf Hurwitz. 



den Bedingungen 



(7) r s = )i, t<s 



unterworfen sind.** 



Die Anzahl der Grössen (6) ist offenbar gleich U s, d. h. gleich 

 der Summe der Divisoren von «. Abgesehen von speziellen Werten 

 von X. sind die Grössen (6) unter einander inaequivalent. Ent- 

 wickelt man also die in der Form ^ \, (aö — ö y — + n) enthal- 



yx -r d ^ ^ ' — ■' 



tenen Grössen in regelmässige Kettenbrüche, so entstehen im 

 allgemeinen so viele verschieden endigende Kettenbrüche, als die 

 Summe der Divisoren von )i beträgt. 



2. 



Zunächst beschäftige ich mich nun mit der folgenden Aufgabe : 

 Gegeben ist die regelmässige Kettenbruchentwicklung der 

 irrationalen Grösse x: 



(0 x = {a^,a^,ao, ) 



Man soll daraus den regelmässigen Kettenbruch für die Grösse 



(-) y = — ^ — 



ableiten, wo r, .v positive ganze Zahlen und t eine zwischen — r und s 

 liegende ganze Zahl bedeuten. 



Diese Aufgabe wird für den Fall, welcher weiterhin aus- 

 schliesslich in Betracht kommen wird, wo nämlich unter den Teil- 

 nennern von X solche vorkommen, die eine beliebig angenommene 

 Zahl überschreiten, auf folgende Weise gelöst. 



Es sei 



(3) rs = n 



und n,, ein Tt^iliienner der Entwicklung von x. welcher 2 n — 1 

 übersteigt. Man hat dann 



(4) X = K, f(,, «, . . . a,_i, ,r,) = JJ-Z^- ' 

 WO X, > 2 I) ist. Nunmehr entwickle man die Zahl 



