über die Kettenbrüche, deren Teilnenner arithmetische Reihen bilden. 39 



g f rp-iq 



S sq 



in einen regelmässigen Kettenbruch 



(5) J:i^ = (h„h„h,...h-.), 



^ 1 



wobei man die Entwicklung so einzmichten hat, dass k = li (mod. 2) 

 wird. Endlich bestimme man y^ derart, dass 



(6) !/ = (i>o,f^i,h,---h-i,yi) 



ist. Dann stellt die letztere Gleichung die regelmässige Entwick- 

 lung von 1/ dar. 



Um dies zu beweisen, habe ich zu zeigen, dass y^ > l ist. 

 Zu dem Ende setze ich: 



^^ l sq = r,Q, 



unter r^ den grössten positiven gemeinsamen Teiler von ri^ — tq 

 und sq verstanden. Dann ist: 



(^) 2/-^y. + (?'' 2/1 V-qy- 



Vermöge der Gleichungen (2), (4), (8) lässt sich y^ als lineare 

 gebrochene Funktion mit ganzen Koeffizienten von x^ darstellen. 

 Und zwar wird die aus diesen Koeffizienten gebildete Determinante 

 gleich n sein. Denn y^ geht aus y und ebenso x aus x^ durch 

 eine lineare Transformation von der Determinante £ = + 1, ferner 

 y aus X durch eine lineare Transformation von der Determinante 

 r g = n hervor. 



Die Ausführung der Rechnung ergibt ein einfaches Resultat. 

 Zunächst folgt aus (8) und (2) 



__q_ s (-1)' ^ <^^' I {-^frC- 



^' " Q. QiP-Qy) Q'^rsq ip - q x)' 



Sodann aus (4) 



(-1)" 



Xi — qx = 



qxi+q 



