zu entnehmen sind. 



Nach dem, was oben bemerkt wurde, lässt sich der Faktor 

 o so bestimmen , dass ^ 7*i , ^ f, , o .Vj ganze Zahlen sind und 

 o ?', • Q s^ = n ist. Aus der letzteren Gleichung folgt aber q- -= 1. 



Also sind s, und t, sanze Zahlen. Da ~r und — zwischen und 1 



liegen, so liegt f, zwischen den Grenzen — )\ und .s-, . 



Die Zahl i\ ist mindestens gleich 1, f, und «, sind höchstens 

 gleich n, und da x^> 2 n, so ergibt sich aus (9) 



y^ > -IT- = 1' 



was zu zeigen war. 



Auf das Grössenpaar x^ und ?/, findet nun genau dieselbe 

 Betrachtung Anwendung, die wir soeben für das Grössenpaar x, y 

 angestellt haben. Aus der bis zu einem gewissen Schlussglied x.y 

 fortgesetzten regelmässigen Kettenbruchentwicklung von x^ erhält 

 man dadurch die bis zu einem gewissen Schlussglied yj., reichende 

 Entwicklung von /y, . Auf x-.,, ytj ist wieder dieselbe Betrachtung 

 anwendbar u. s. f. Es leuchtet ein, dass man auf diese Weise 

 nach und nach alle Teilnenner der regelmässigen Kettenbruch- 

 entwicklung von y findet. 



Diese Methode zur Herstellung der Entwicklung von y aus 

 der als bekannt vorausgesetzten von x ist, wie schon oben be- 

 merkt, stets anwendbar, wenn es Teilnenner von ./• gibt, die 

 grösser als eine beliebig vorgeschriebene Zahl sind. ]\lau wird 

 aber bemerken, dass für einen bestimmten Wert von n die Methode 

 schon dann brauchbar ist, wenn sich nur in der Reihe der Teil- 

 nenner von .r, so weit man in derselben auch fortschreiten möge, 

 innner noch solche finden, die 2 u — 1 überschreiten. 



