42 Adolf Hurwitz. 



Hierauf luvt man die Entwicklung von ?/: 



(0 y = (^ü H- »• c^ ^1 . '>■> • • • ^i- 1 . .Vi ) = Qy-^ ^ Q' — 



Zwischen //', und x\ besteht nun eine Gleichung der Gestalt: 



' ^'i J^i — ti 



•^' ~ s\ ' 



und zwar ist r\ als grösster positiver gemeinsamer Teiler von: 



r Qj -{- n c q) — t q = r p — t q -\- r' c • s q und s q 

 gleich >', , ferner s'i = -7 = — = «i und 



Die Gleichung zwischen ij\ und x\ lautet also: 

 (8) .yi = — ; 



es hängt also 1/1 von x'i gerade so ab, wie ?/i von Xi. 



Für das Folgende ist es wichtig zu bemerken, dass man aus 

 den Gleichungen (1) bis (6) ohne weiteres auf die Gleichungen 

 (7) und (8) schliessen kann. 



4. 

 Liegt ein Kettenbruch der Gestalt : 



(1) («0, «1 , • . • ^',-1 . <Pi {m), cp., (m), ...cpk (?u)) 



vor, so will ich a^, «i, . . . a,_i, seine „ irregulären *■, alle übrigen 

 Teilnenner seine „regulären" Gliedernennen. Da der Kettenbruch : 



(a^, Ol, . . . a,_i, (p^ (1), fp^ (m), . . . fp^ (m), (p^ {m-{- 1)) 



mit (1) identisch ist, so kann man das erste reguläre Glied zu 

 einem irregulären und durch wiederholte Anwendung desselben 

 Vorgehens offenbar eine beliebige Anzahl von regulären Gliedern 

 zu irregulären machen, derart, dass ein beliebiges reguläres Glied 

 des Kettenbruches (1) zum ersten regulären Gliede wird. 



