über die Kettenbrüclie, deren Teiliienner arithmetische Reihen bilden. 43 



Man sieht ferner leicht ein, dass der Kettenbruch (1) auch in 

 einer solchen Form dargestellt werden kann, in welcher an Stelle 

 von k irgend ein Multiplum von k getreten ist. Soll beispielsweise 

 'Sk an Stelle von k treten, so setze man 



i)^ (■?») = fp^ (ßm — 2), i\^T, im) = (p^ (3??i — 1), 

 tr + 2k ("*) '^= ffr (?"") (f = 1, 2, . . . A;) 

 und bilde den Kettenbruch 



Der letztere ist, wie man sich sofort überzeugt, mit dem 

 Kettenbruch (1) identisch. Diese Bemerkungen gelten unabhängig 

 davon, welcher Natur die Funktionen ep^ {m), fp., (m), . . . tpk ("0 ^^^ 

 welcher Beschaffenheit die Teilnenner des Kettenbruches (1) sind. 



Nunmehr will ich aber insbesondere voraussetzen, dass (1) ein 

 regelmässiger Kettenbruch ist und dass cp^ {m), (p.^ {m), . . . (f^^-iin) 

 ganze rationale Funktionen von m sind. Diese besitzen notwendig 

 rationale Koeffizienten und lassen sich also auf die Form bringen : 



'Pi (jn) = —f^ {m), ff., im) = — /g {m\ . . . (fj, {m) = — /^ (m), 



wo /i, , n.2, . . . nj^ positive ganze Zahlen und /j (jn),/^ (m) . . -fk (^i) 

 ganze ganzzahlige Funktionen von 7n bezeichnen. Ist jetzt n eine 

 beliebig gewählte positive Zahl, so bilden die regulären Glieder 

 des Kettenbruches (1) (mod ??) betrachtet eine periodische 

 Reihe; mit andern Worten, es ist für jeden Wert von ni 



(p^ im + ^V) = g?! (m), (p., (»i -h X) = r/)., (m), . . . fpf, {m -f- K) = 

 = (fjc ("') (niod n) 



unter X eine geeignet gewählte feste ganze Zahl verstanden. 



In der That: bezeichnet v ein gemeinsames Multiplum von 

 ji,, u.,, . . . )ij; und nimmt man X = n- v, so wird: 



(p, {m -r X) — gi^ (m) = ^ (f^ (m + n v) — f^ {m)) = 



n 



V /-' / X , 9 'V' 1 



// (m)-[- w'^-— -^/r" ("0 



Vr •■' '■ ^ Hr 2 



eine durch h teilbare ganze Zahl, für r = 1,2,... k. 



