44 Adolf Hurwitz 



Verbindet niiin diese Thatsache mit den obigen Bemerkungen, 

 so erkennt man, dass sich der Kettenbruch (1) auf die Form 

 bringen lässt: 



(2) (ao, a, , a,,, . . . a;., , i^, (m), t/^, (»0» ■ • ■ '^'h (»O), 



derart, dass i/', (1) ein l)eliebig gewähltes reguläres Glied des 

 Kettenbruches (1) ist, und dass: 



1^, (m -h 1) ^ T^, (m), ti (m -M) ~ 4». (m), . . . ii>^ (?u -f- 1) li tu (»0 (mod h) 



ist, dass also nach dem Modul u die regulären Glieder des Ketten- 

 bruches (2) die periodische Reihe: 



bilden. Der Index k ist ein geeignet gewähltes Multiplum von k, 

 z. B. h = X-k. 



5. 



Wenn der regelmässige Kettenbruch für die Irrationalzahl x 

 so beschaffen ist, dass seine Teilnenner von einem bestimmten ab 

 eine gewisse Zahl von ineinander geschachtelten arithmetischen 

 Reihen bilden, wenn also x eine Entwicklung der Gestalt: 



(1) x = («0, «1 , , . . a,_i, (pi im), ff., (m), . . . fpk (»O) 



besitzt, wo (fi, (p.2, • • ■ fPk ganze Funktionen von m bezeichnen, so 

 wird man vermuten, dass auch der regelmässige Kettenbruch für 

 jede in der Form : 



(2) y = 'm 



enthaltene Grösse ?/ eine gewisse Gesetzmässigkeit darbietet. Dabei 

 sollen a, ß, y, ö ganze Zahlen von nicht verschwindender Deter- 

 minante a () — ß ^ = + 'i bedeuten. 



Die Beantwortung der hiermit gestellten Frage bildet das 

 Hauptziel der vorliegenden Untersuchung. Der Fall /t = 1 erledigt 

 sich nach dem Satze von Lagrange sofort. Ebenso leicht lässt 

 sich die Frage erledigen für den Fall, wo der Kettenbruch (Ij 

 die Ordnung o hat, wo sich also die Funktionen cpi {m), ...ffk (»0 

 sämtlich auf Konstante reduzieren. Dann ist (1) ein periodischer 



