über die Kettenbrüelie, deren Teilnenner arithmetische Reihen bilden. 45 



Kettenbrucli und folglich x und also auch jede in der Form (2) 

 enthaltene Grösse ?/ eine quadratische Irrationalität. In diesem 

 Falle wird also jedes // ebenfalls eine periodische Entwicklung 

 besitzen, oder, nach der hier gewählten Terminologie, einen Ketten- 

 bruch der Gestalt (1) von der Ordnung o liefern. Ich werde hier- 

 nach bei der weiteren Untersuchung den Fall, wo der Kettenbruch 

 für X von der Ordnung o ist, ausschliessen dürfen, so dass also 

 unter den Funktionen qp^ {ni) mindestens eine vorhanden ist, deren 

 Grad eine positive ganze Zahl ist. Dies hat zur Folge, dass unter 

 den Teilnennern des Kettenbruches (1) solche vorkommen, die eine 

 beliebig angenommene Zahl übersteigen. Die Aufgabe, den regel- 

 mässigen Kettenbruch für y zu untersuchen unter der Voraus- 

 setzung, dass X die Entwicklung (1) liefere, lässt sich zunächst 

 auf eine einfachere zurückführen. Ich bringe zu dem Ende den 

 Kettenbruch (1) auf die Form (2) der vorigen Nummer und zwar 

 so, dass sich die Funktion t\!^ (m) nicht auf eine Konstante reduziert 

 und dass die Teilnenner : 



i>i {m), ^2 (m), ■ • . i'h (m), 



welche der Funktion t/^j (vh) und den übrigen etwa vorhandenen 

 Funktionen i/;^ (m), die sich nicht auf Konstante i-eduzieren, ent- 

 springen, sämtlich 2/i — 1 übersteigen. Die Grösse x ist jedenfalls 

 aequivalent der Grösse : 



(3) a;* = (p^ (7u), ipo (m), .. .i)j, («i)) 



und daher jede in der Form (2) enthaltene Grösse y (nach Nr. 1) 

 aequivalent einer in der Form : 



(4) 2/* = ' ^ s~ ' *^'' ^ ^ "^ 



enthaltenen Grösse, wo r. s, t, nicht negative Zahlen bezeichnen 

 und t < s ist. 



Nach dem Satze von Lagrange hat jedes y eine gleichendende 

 regelmässige Kettenbruchentwicklung wie das entsprechende ?/*. 

 Es ist also nur noch zu untersuchen, nach welchem Gesetze die 

 Teilnenner in der Entwicklung irgend eines ?/* fortschreiten. 



