4G Adolf Hurwitz. 



6. 



(1) •» = (t^i (m), ^2 (m) li^f^ (m)). 



Gesucht wird der Kettenbnich für: 



(-) 1/ = — 7~' ^■'' ■ '^ ^ "^' 



wo r, 6" positive ganze Zahlen bedeuten und t zwischen o und .s- — 1, 

 also umsomehr zwischen — ?• und s liegt. Dabei sind die Werte 

 derjenigen Funktionen t^ (m), die sich nicht auf Konstante redu- 

 zieren und zu denen insbesondere il\ (?») gehört, sämtlich grösser 

 als 2n — 1. Ferner ist allgemein: 



(3) il\ (m 4- 1 ) — rlf, (711) (mod n) (r -= 1,2,... //). 



Bei der Behandlung dieser Aufgabe ist es erforderlich, die- 

 jenigen Funktionen 1^^ (nt), die sich nicht auf Konstante reduzieren, 

 von den übrigen zu unterscheiden. Ich will deshalb mit: 



fo(m),fi (m), f.(m) 



diejenigen Funktionen t^v <^»0 bezeichnen, die sich nicht auf Kon- 

 stante reduzieren, die übrigen werde ich der Reihe nach mit a'o, 

 ao,...a\, «!,',... bezeichnen, so dass sich also die Kettenbruch- 

 entwicklung (1) nun so darstellt: 



(!') X = (/o (w), a,'„ aö', . . . /i (m), a[, a\' , . . . fi {m), . . . 



• • • ./;. O'O. a'., a'!, ...). 



Die Funktion f^ (m) ist mit r^, (m) identisch. Ferner ist zu 

 beitierken, dass von den Gruppen der konstanten Teilnenner einzelne 

 oder auch alle fortfallen können. So wird beispielsweise die erste 

 Gruppe ff',, a',' . . .gar nicht auftreten, wenn t^'., ( wi) sich nicht 

 auf eine Konstante reduziert. 



Zunächst zerlege ich nun den Kettenbruch (!') in folgender 

 Weise: 



Indem ich die Bezeichnung ein wenig abändere, habe ich also j 

 folgende Aufgabe: 



Gegeben ist der regelmässige Kettenbruch: 



