48 Atlolf Hurwitz. 



Da es mir eine endliche Anzahl von Zahlentripeln r, .s, t gibt. I 

 welche den Bedingungen ?• • s — n, — r < t < s genügen, so wird 

 in den Gleiclunigen (7) notwendig ein und dasselbe Zahlontiipel 

 wiederholt auftreten müssen. Man darf aber annehmen, dass das > 

 in der ersten Gleichung (7) vorkommende Tripel wiederholt auf- 1 

 tritt. Andernfalls würde man nämlich an Stelle von x die erste 

 Grösse der Keihe x , x" , . . . betrachten können, deren zugehörige 

 (irösse der Reihe (7) ein wiederholt vorkommendes Zahlentripel i 

 entspricht. | 



Des weiteren darf vorausgesetzt werden, dass schon das zweite \ 

 Zahlentripel r , s , f' mit dem ersten r, s, t identisch ist, da man ! 

 dies widrigenfalls dadurch erreichen würde, dass man den Ketten- 

 bruch (1) in eine Form bringt, in welcher an Stelle von // ein j 

 geeignetes Multiplum von // getreten ist. (Vgl. Nr. 4.) i 



Wenn aber n' = — ist, so findet der Satz von Nr. 3 An- 



Wendung. Denn die ersten Teilnenner /„ (1) und/o(2) der Ent- 

 wicklungen von X und x unterscheiden sich nach (3) nur um ein 

 Multiplum von n. Die (l + 2)*® Gleichung des Systemes (5) heisst i 

 also: 



y = — - — = (co, K, in', • . • .y'i), I 



! 



WO c^=b^ -t-r'- ^'^^'~/'^^^ ist. Zugleich ist: ' 



Da wiederum die ersten Teilnenner von /i und x\, nämlich 

 fi (1) und /j (2), sich um ein Multiplum von n unterscheiden, so 

 findet der Satz von Nr. 3 aufs neue Anwendung u. s. f. Auf diese I 

 Weise erkennt man, dass sich die Gleichungen (5) allgemein so j 

 darstellen lassen. Man setze: j 



(S) ,0 (.0 - ^0 r^ ,- • ^" ^"^ ; ^" ^'\ ,. (»0 ^ i. -^ .1 fiM^dl, . . . : 



■''■ ■ ^ '■ '■ n I 



Dann erhält man das unendliche System der Gleichungen (5), ; 

 indem man die nachstehenden Gleichungen (.')') für « = 0, 1, 2, . . . j 

 bildet: I 



