über die Kettenbrüche, deren Teilnenner arithmetische Reihen bilden. 49 



(5') 



/f/O 





^/!i"^ = (^AC"+n,6-,6V,...y/' + i)) 



Hiernach ist die regelmässige Kettenbruchentwicklung von y 

 diese : 



i^) .V = (f/o O'O» ^0, io' , . • . , ,</i (»0, 6'i, 6',' , . . . f/2 ("0» - • ■ .'7a W' ^1» ^A > • • •)' 



also genau von derselben Gestalt, wie die Entwicklung von .:/•. 

 Beachtet man, dass die Funktion </,. (in) nach (8) eine ganze Funktion 

 des nämlichen Grades, wie die Funktion /',. (m) ist, beachtet man 

 ferner die am Schluss der vorigen Nummer gemachten Bemerkungen, 

 so sieht man, dass nunmehr folgender Satz bewiesen ist: 



Wenn der regelmässige Kettenbruch für die Irrational- 

 zahl X so beschaffen ist, dass seine Teiinenner von einem 

 bestimmten ab eine arithmetische Reihe oder mehrere in- 

 einander geschachtelte arithmetische Reihen bilden, so 

 hat der regelmässige Kettenbruch für: 



«■ X + ß 



WO a, ß, y, d irgend vier ganze Zahlen von nicht ver- 

 schwindender Determinante ad — ß ■/ bezeichnen, stets 

 dieselbe Beschaffenheit. Und zwar besitzt, abgesehen 

 von Reihen der Ordnung 0, jede in der Entwicklung von 

 y auftretende arithmetische Reihe dieselbe Ordnung, wie 

 eine derjenigen Reihen, die in der Entwicklung von x 

 auftreten. 



Nach der oben eingeführten Bezeichnungsweise besitzen also 

 insbesondere die beiden Kettenbrüche für x und y dieselbe „Ordnung". 



7. 



Besitzt die Irrationalzahl x eine regelmässige Kettenbruch- 

 entwicklung von der im vorigen Satze erwähnten Beschaffenheit 

 und will man aus derselben die Entwickluna; von : 



Vierteljahrsschrift d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. XLI. Jubelband 11. 



