50 Adolf Hurwitz. 



U) .y = !^r| (ad-ßy= ±n) 



licrleitcn, so lässt sich das Verfahren der vorhergehenden Nummer 

 jiicht unmittelbar anwenden. Denn dieses setzt voraus, dass die 



Rehitiou zwischen »/ und x die besondere Gestalt ?/ = -^-^ — besitze 



und dass überdies die im Beginn der Nr. 6 angegebenen Be- 

 dingungen für die Entwicklung von x erfüllt seien. Auf diesen 

 Fall liisst sich aber der allgemeinste Fall zurückführen. Dies ge- 

 schieht auf Grund der folgenden Betrachtung. 



Es sei: 

 (2 ) X = {ao, a, , . . . r/,-_, , a;, ) = ; ;- 



ein regelmässiger Kettenbruch, über dessen Beschaffenheit ich zu- 

 nächst keinerlei Voraussetzung mache. Ferner hänge y mit x 

 durch die Gleichung (1) zusammen. 



Nun stelle man den regelmässigen Kettenbrucli 



(3) :^^=(^«-^ ^^-.) 



her, Avobei j^i (mod 2) oder /~ i -f 1 (mod 2) sein soll, je nach- 

 dem ad — /^ /' = + « oder = — )i ist. 



Endlich bestimme man ?/, so, dass die Gleichung 



(■^) .'/ -= (^0 . ^^ > • • • ^;-i ' //i ) = ^^/|^'a,(;)' 



besteht. — Zunächst will ich nun untersuchen, in welchem Zu- 

 sammenhange ;/i und A'i stehen. Unter der offenbar zulässigen 

 Annahme, dass yjj -\- dq positiv sei, ist : 



(5) ap-[-ßq = r 1\ yp + Ö q = r Q 



wo r den positiven grössten gemeinsamen Teiler der Zahlen 

 ap -r ß q, y p -r ö q bezeichnet. 



Die Elimination von x und y aus den Gleichungen (1), (2) 

 und (4) ergibt nach kurzer Rechnung (welche der in Nr. 2 aus- 

 geführten ganz ähnlich ist): 



