über die Kettenbrüche, deren Teilnenner arithmetische Reihen bilden. 51 



(6) 2/, =^^^ 

 wo s und t ganze Zahlen, r • s =^ n und: 



(7) t^-s4-r-'^^^-^ 



Q yp + Sq 



ist. Der Faktor von r lässt sich auf die Form bringen 



yp +(yg ^ q +f 

 yp + ^q q ' 



wo 



£ = 



(7f; + j) <liy.r+i)±~ 



p / 2 ^1 + q 



unbegrenzt abnimmt, wenn die Anzahl / der Teilnenner des Ketten- 

 bruches (2) (und folglich auch q) unbegrenzt zunimmt. Sobald daher 

 die Zahl dieser Teilnenner eine gewisse Grenze überschreitet, 

 wird t zwischen — r und s liegen. Zugleich wird dann, sofern 

 Xi > 2n ist, nach Gleichung (6) tj^ > 1, und folglich (4) die regel- 

 mässige Entwicklung von ?/ darstellen. 



Wenn nun insbesondere der Kettenbruch x die im Satze der 

 vorigen Nummer näher bezeichnete Beschaffenheit hat, so leuchtet 

 ein, dass man durch geeignete Wahl der Anfangs-Teilnenner 

 (Iq, a^ ... c/,_j die in der Darstellung (2) auftreten, stets erreichen 



kann, dass auf die Grössen x^ und q^ = —^ das Verfahren 



der vorigen Nummer anwendbar wird. 



Eine besonders interessante Anwendung gestatten die gefun- 

 denen Resultate auf die Basis e der natürlichen Logarithmen. 

 Bezeichnet ii eine unbeschränkt veränderliche Grösse, so besteht 

 nach Lambert bekanntlich die Gleichung: 



Der hier auftretende Kettenbruch wird ein regelraässigei-, 

 dessen Teilnenner eine arithmetische Reihe erster Ordnung bilden. 



