über die Kettenbrüche, deren Teilnenner arithmetische Reihen bilden. 53 

 ZU bestimmen. Die Elimination von x, y aus (3), (4) (5) liefert nun: 



(6) //i = '^^ 



und hier tritt jetzt das Verfahren von Nr. 6 in Kraft. Die Teil- 

 nenner von : 



X, =(6, 10, ...) = (4m+2) 



bilden (mod 2) eine periodische Reihe bestehend aus dem einen 

 Gliede 0. Den Grleichungen (4) von Nr. 6 entsprechend, ist also 

 zu setzen: 



(7) X, = (6, x\), x\ - (10, x;\ . . . al'") = (/ (u + 1), x[f' + ^')r . . • 



(/ (m) = 4 m + 2). 



Hieraus ergeben sich der Reihe nach die den Gleichungen (5) 

 von Nr. 6 entsprechenden Gleichungen: 



(8) !h = ^^ = (2, 1, 1, y\), y\ = '^^ = (4, 1, 1, y['), . . . 



Da schon ?/' mit x\ in demselben Zusammenhange steht, wie 

 y^ mit x^ , so braucht man die Rechnung nicht weiter fortzusetzen. 

 Allgemein wird, den Gleichungen (5') von Nr. 6 entsprechend, 



(9) y\''=-(9L-^V,l,l,lj{'-'% 



wo // {m) = 6o 4- r- • ' ^^-^-^ = 2 + P ^ > also 



(10) g (m) = 2 m 



ist. Hiernach wird die regelmässige Entwicklung von y^ gleich 

 (2 m, 1,1) und hieraus schliesslich in Rücksicht auf (5): 



(11) ?/ = e = (2, 1,2m, 1). ') 



^) Die regelmässige Kettenbruchentwicklung der Zahl e ist, wie Herr 

 ßudio in seiner interessanten Schrift: Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. 

 Vier Abhandlungen über die Kreismessung (mit einer Übersicht über die 

 Geschichte des Problemes von der Quadratur des Zirkels) Leipzig 1892, be- 

 merkt, schon von Euler in der Abhandlung „De fractionibus continuis disser- 

 tatio" (Comment. Acad, Petrop. T. IX pag. 120) mitgeteilt vrorden. 



