über die Kettenbrüche, deren Teilnenner arithmetische Reihen bilden. 55 



(18) y = e'- = {7,'3m- 1,1,1,^ m, 12 m + 6) 



Einige weitere Beispiele für den Satz dieser Nummer ent- 

 nehme ich meiner in der Einleitung erwähnten Notiz. Es ist: 



(19) 



e + 1 



= (1, 4, 5, 4771 - 3, 1, 1, 36 771 - 16, 1, 1, 47« - 2, 1, 1, 



36 771—4, 1,1,4 7^—1, 1,5,4 777, 1) 



1±A = (0, 1,13. 4m + l, 167U + 12) 



2e' = (14, 3 77t -2, 3, 1, 3m — 2, 48 m — 12, 13 7h — 1, 1, 3, 



3 m, 4877i+12). 



9. 



Rechnet man zwei Irrationalzahlen in dieselbe Klasse, wenn 

 die eine sich als lineare (ganze oder gebrochene) Funktion der 

 anderen mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen lässt, oder — 

 was offenbar auf dasselbe hinauskommt — wenn zwischen den 

 beiden Irrationalzahlen eine bilineare Relation mit ganzzahligen 

 Koeffizienten stattfindet, so kann man den Satz von Nr. 6 auch 

 so aussprechen: Falls die regelmässige Kettenbruchentwicklung 

 der Irrationalzahl x so beschaften ist, dass die Teilnenner von 

 einem bestimmten ab eine arithmetische Reihe oder mehrere m 

 einander geschachtelte arithmetische Reihen bilden, so findet das 

 Gleiche für jede Irrationalzahl // statt, die in dieselbe Klasse wie 

 X gehört. Zugleich sind die Ordnungen der arithmetischen Reihen 

 bei beiden Irrationalzahlen die nämlichen. Ausgenommen ist die 

 Ordnnng 0, die bei der einen Entwicklung fehlen, bei der anderen 

 auftreten kann. Es erhebt sich nun die Frage, unter welchen 

 Bedingungen man umgekehrt daraus, dass zwei Irrationalzahlen x, y 

 Kettenbruchentwicklungen von der genannten Beschaffenheit liefern, 

 schliessen kann, dass die beiden Zahlen in dieselbe Klasse gehören. 



Diese Frage wird, wenigstens für eine Reihe von Fällen, durch 

 einen Satz entschieden, den ich zunächst aussprechen und dann 

 beweisen will. Der Satz lautet: 



Wenn die Teilnenner der unendlichen regelmässigen 



Kettenbrüche 



