56 Adolf Hurwitü. 



(1) a- = (ao,«,,rf2 ) 



(2) y = {K,^.,K ) 



schliesslich üher alle Grenzen wachsen, wenn also 

 lim rf;;. = \\\\\ hk = 00 ist, so kann nur dann zwischen x und 



t = 00 k = y. 



y eine bilineare Relation mit ganzzahligen Koeffizienten 

 bestehen, falls es möglich ist, die positiven ganzen Zahlen 

 r und s und die Indices / und / so zu bestimmen, dass 

 die Gleichungen 



(::}) Ij = ^ cti, bj+i = — Oi+u h+-i = ~ «e+2, 6;+3 = — a/+3 , ... in inf. 



stattfinden. Sind diese Gleichungen erfüllt, so ist y eine 

 ganzzahlige (gebrochene) lineare Funktion von x, deren 

 Determinante x '' * ist. 



Um diesen Satz zu beweisen, nehme ich an, es sei: 



wo X und // die durch die Kettenbrüche (1) und (2) definierten 

 Irrationalitäten, a, ß, y, ö vier ganze Zahlen, n eine positive ganze 

 Zahl bezeichnen. Nun sei der Teilnenner a/_i so gewählt, dass 

 alle auf ihn folgenden Teilnenner a,-, az+i, ... die Zahl 2 n — l 

 überschreiten. Setzt man dann : 



(5) X = («oj «n • • • «/-i> ^i) 



und wählt überdies den Index i so gross, dass die Betrachtung 

 von Xr. 7 anwendbar ist, so hat man : 



(C) 2/ = (io'^'---^j-i'//i) 



und zugleich: 



(7) y^^'-'^i^^. 



öl 



wo r, .s, = n ist, i\ und .s', positive ganze Zahlen und t^ eine 

 zwischen — r, und s^ liegende ganze Zahl bezeichnen. 



Jetzt sei : 



