über die Kettenbrüche, deren Teilnenner arithmetische Reihen biklen. 57 



Nach dem Verfahren von Nr. 2 folgen aus diesen Gleichungen 

 der Reihe nach die anderen: 



Ux = ^"^'~ ' = ^h ^J+i^ • • • ^h-i > ^/-i). ^-^ — - = ih ^J+i' • • • ^h-i), 

 1/2^ ~^~i ^= (J'h,i>h+i, ...hi-i,V-i), '^' ={bk,h/, + u...l>i-i), 



(9) 



**3 '^3 '3 /■? 7 „. > ''3^'!+-:; '3/77 \ 



^3= ^ = (6/, iz+1,... ?/4), ^ -- {Ol,Ol + h ■ ■ ■), 



Ö3 *3 



Alle Zahlentripel r, s, t, die hier auftreten, genügen denselben 

 Bedingungen, wie das erste i\,Si,ti. Es können also nur eine 

 endliche Zahl verschiedener Zahlentripel auftreten. Von jedem 

 der übeihaupt vorkommenden Zahlentripel nehme ich an, dass es 

 unendlich oft auftritt. Diese Annahme ist gestattet; denn, falls 

 sie nicht erfüllt wäre, könnte man i durch einen geeignet ge- 

 wählten grösseren Index ersetzen und dadurch erreichen, dass die 

 in endlicher Anzahl auftretenden Zahlentripel herausfallen. Ich 

 betrachte nun alle diejenigen Gleichungen (9), in denen ein und 

 dasselbe Zahlentripel, z. B. 7\, s^, tj auftritt. Unter den entsprechen- 

 den Teilnennern a,, . . . der Entwicklung von x kommen gewiss 

 unendlich viele vor, die (mod n) kongruent sind. Aber ich darf 

 und will annehmen, dass jede Zahlklasse (mod n), die unter den 

 Teilnennern a, . . . überhaupt vertreten ist, unendlich oft vertreten 

 ist. Dies ist wiederum durch geeignete Verfügung über den Index 

 / stets zu erreichen. Greift man nun unter den Teilnennern, welche 

 demselben Tripel, etwa rj, Sy, ty entsprechen, ein System solcher 

 heraus, die (mod n) kongruent sind, etwa die Teilnenner «,, a^., . . ., 

 so hat man ihnen entsprechend die Gleichungen: 



rxcii — i, _., , , N r,ajc — t, _,, r,{ak-ad 7 7 n 



— ^ — v^j' bj+i ,••• ^7,-1 ), , — {(^j -i ; ) f^J+i ' • • ^h-\ J) • • • 



Würde nun - — nicht eine ganze Zahl sein, also der 



Kettenbruch (bj, bj^^, . . b^^_y) mehr als einen Teilnenner aufweisen, 

 so würden die Zahlen bj+y, . . bj,_i unendlich oft unter den Teil- 

 nennern von 1/ wiederkehren. Dies widerspricht aber der An- 

 nahme lim b^. ^= OD. Folglich ist -^— ' ^ und aus den entsprechen- 



7.- = X ^i 



