über die Kettenbrüche, deren Teilnenner arithmetische Reihen bilden. 59 



die Relation ^j = — a^i besteht. Da aber x = {a^, a^, . . .) aequi- 



valent zu a\ und 1/ = {b^, b^, . . .) aequivalent zu y^ ist, so folgt 



aus i/, = — x^ eine Relatiou der Gestalt 1/ = ; — ^, wo a ö — 



ß y — +r s ist. 



Der obige Satz lässt sich, wie ich nun zeigen will, noch auf 

 eine andere, sehr bemerkenswerte Form bringen. Die Gleichungen 

 (3) können stets und nur dann durch zwei positive ganze Zahlen 

 r und s befriedigt werden, wenn 



rt/ffz+i = bjhj+i, «,4-1 a,+2 = bj+i hj+o, ... in inf. 



ist, wenn also die beiden Zahlenreihen: 



rto-^n «i«2) «i'^s' • • • 

 60 &i, b^b^, bob^, . . . 



nach Abtrennung der ersten l bezw. der ersten j Glieder identisch 

 sind. Es folgt also : 



Wenn die Teilnenner der unendlichen regelmässigen 

 Kettenbrüche; 



(1) X = («0, «,, a^, . . .) 



(2) !J = iK, ^1, K •••) 



schliesslich über alle Grenzen wachsen, so wird stets und 

 nur dann zwischen x und y eine bilineare Relation mit 

 ganzzahligen Koeffizienten bestehen, falls die beiden 

 Zahlenreihen: 



(10) «Q«!, a^a.,, ciodi,, . . . 



(11) b^^b^, b^b,, h.^b.^, . . ., 



abgesehen von einer endlichen Anzahl von Auf angsgliedern^ 

 identisch sind. 



Sind die beiden Zahlenreihen (10) und (11), nachdem man 

 von der ersten die ersten i Glieder, von der zweiten die ersten 

 j Glieder abgetrennt hat, thatsächlich identisch, so findet man 

 dann die zwischen x und y bestehende bilineare Relation, indem 

 man x^ und y, aus den Gleichungen: 



^ ^^ ('^0 ) f^i 5 • • • f'^' 1 > ^1 )» 

 y = {b^,b,,. . . bj-i,y,), 

 bj Xy = ai y^ 



