60 Adolf Hurwitz. 



eliminiert. Dies geht umnittelbiir aus der vorliergelienden Unter- 

 sucliiing hervor. 



Die oben aufgeworfene Frage, wann die lirüssen x und ?/, 

 deren regelmässige Kettenbruchentwicklungen von der Form : 



(12) x-= (rr„, r(, r/,_, , qp, (m), (f^ (m), . . . <pu {m)) 



(1-^) y = (^'ü' ^1 > • • • ^>j-\^ ^1 im), 1^2 {m), ... V, (w)) 



sind, in dieselbe Klasse gehören, d. h. wann zwischen ihnen eine 

 bilineare Relation mit ganzzahligen Koeffizienten besteht, wird nun 

 immer dann durch den vorstehenden Satz entschieden, wenn unter 

 den ganzen Funktionen (jp {m) und t/; {m) sich keine auf eine Kon- 

 stante reduziert. 



Denn in diesem Falle wachsen die Teilnenner von x und y 

 schliesslich über alle Grenzen. Wenn die Anzahl k der Funk- 

 tionen (p {m), wie das nach den Bemerkungen von Nr. 4 gestattet 

 ist, als eine gerade Zahl vorausgesetzt wird, so hat der Ketten- 

 brucli für //, falls zwischen x und y eine bilineare Relation mit 

 ganzzahligen Koeffizienten stattfindet, bei geeigneter Bestimmung 

 der Indices i und ; die Gestalt 



y = {h^Jj^, . .. bj_, , y qPi (m), ~ (p, (m), ~ cp, {m) y cp^ (mfj 



Hieraus ergibt sich leicht eine Beziehung zwischen den An- 

 zahlen der arithmetischen Reihen, aus denen sich die Teilnenner 

 von X und y zusammensetzen, wobei für einen Kettenbruch der 

 (restalt (12) unter der „Anzahl" der arithmetischen Reihen der 

 Minimalwert zu verstehen ist, den die Zahl k der Funktionen q) (m) 

 für den Kettenbruch annehmen kann. 



Ist die Anzahl der arithmetischen Reihen für einen der beiden 

 Ketten brüche eine ungerade Zahl, so ist sie für den andern not- 

 wendig das Doppelte dieser ungeraden Zahl, es sei denn, dass 



- = 1 ist, also die arithmetischen Reihen für beide Kettenbrüche 



völlig identisch sind: Wenn also die Teilnenner für die Entwick- 

 lungen von X und y je eine ungerade Anzahl von arithmetischen 

 Reihen bilden, die für die eine Entwicklung nicht völlig dieselben 

 sind wie für die andere, so kann zwischen x und y keine bilineare 



