über die Kettenbrtiche, deren Teilnenner arithmetische Reihen bilden. 61 



Relation mit ganzzahligen Koeffizienten bestehen. Beispielsweise 



e — l 



kann keine derartige Relation zwischen — —7 = (0, 4 ??i — 2) und 



e"'— 1 



., (0, 2 m +1) stattfinden, was übrigens auch aus der zweiten 



Form des Satzes dieser Nummer unmittelbar erhellt. Die Zahlen 



— -— r und „ , ■ , und folglich auch die Zahlen e und e} gehören 



daher nicht derselben Klasse an, woraus hervorgeht, dass e nicht 

 Wurzel einer ganzzahligen Gleichung dritten Grades ist. Wenn 

 auch die neueren von Hilbert, dem Verfasser und Gordan 

 gegebenen Beweise ') für die Transcendenz der Zahl e sehr ein- 

 fach sind und insbesondere der Gordansche Beweis nur ganz ele- 

 mentare Hnlfsmittel beansprucht, so ist es vielleicht doch nicht 

 ohne Interesse, dass man aus den Kettenbruchentwicklungen von 

 e und er' unmittelbar schliessen kann, dass e nicht Wurzel einer 

 aanzzahligen Gleichung ersten, zweiten oder dritten Grades ist. 



10. 



Wenn die Teilnenner des regelmässigen Kettenbruches für 

 die Irrationalzahl x von einem bestimmten ab eine arithmetische 

 Reihe oder mehrere in einander geschachtelte arithmetische Reihen 

 bilden, so besitzen auch gewisse andere Kettenbruchentwicklungen 

 derselben Zahl ein ähnlich einfaches Bildungsgesetz. Ich will hier 

 nur die Entwicklung nach „nächsten Ganzen", die wegen ihrer 

 starken Konvergenz ein besonderes Interesse bietet, betrachten. 

 Dabei muss ich mich aber, um nicht zu weitläufig zu werden, 

 damit begnügen, die Methode anzugeben, nach welcher man das 

 Bildungsgesetz der Entwicklung nach nächsten Ganzen für die 

 hier betrachteten Irrationalzahlen in jedem besonderen Falle be- 

 stimmen kann. Der Leser wird aus den beigefügten Beispielen 

 das allgemeine Gesetz für diese Entwicklungen leicht abstrahieren. 



Bezeichnet zunächst x eine beliebige Zahl, so erhält man ihre 

 Entwicklung nach nächsten Ganzen aus der Gleichungskette: 



\\) X = «0 ±— , a^i = «1 ± — , • . . Xi = ß; ±-:— , . . ., 



') Mathematische Annalen, Bd. 43. 



