()2 Adulf Huiwitz. 



die nach der Massgabe zu bilden ist, dass allgemein «,• die der 

 Grösse ./•, nächstliegende ganze Zahl sein soll und in der Gleichung " 



a,- = «,■ ; das obere oder untere Zeichen gelten soll, je nach- 



-Ti + i 



dem fc, kleiner oder grösser als j.- ist. Der Kettenbruch für x, 

 den man durch Elimination von x^^x^,... erhält, möge Avieder 

 diircli dJL- in Klammern geschlossene Reihe der Teilnenner be- 

 zeichnet werden, wobei iedoch, wenn in der Gleichung Xt = «, 4- 



das untere Zeichen gilt, der betreffende Teilnenner «, einen oberen 

 Punkt erhalten soll. 



Durch die folgende Betrachtung erkennt man nun, dass man 

 aus der regelmässigen Entwicklung der Zahl x\ 



(2) X = (ßo, «1, (to, . . .) 



ihre Entwicklung nach nächsten Ganzen unmittelbar ableiten 

 kann. Man bilde die Gleichungen: 



(3) X = «0 + L- > ^1 "" ^'i +—'••• ^fc = "k 4- ^ — » • • • 



Ist Ol > 2, so fällt offenbar die erste der Gleichungen (1) mit 



der Gleichung x = a^ + ^ zusammen, und allgemeiner werden die 



Gleichungsketten (1) und (3) soweit koincidieren, als unter den 

 Teilnennern rfj, «.,,... die Zahl 1 nicht auftritt. Wenn aber «^ 

 der erste Teilnenner ist, welcher den Wert l hat, so erkennt 

 man aus den Gleichungen: 



tt-i = fa-_i H- -TT-, ti- = 1 -f- -7, 



wo Bequemlichkeit halber x' für £/, + ! geschrieben ist, dass an der 

 k'"' Stelle in der Gleichungskette (1) die Gleichung: 



steht. Denn von den beiden Zahlen aic-i und ai^-i t- 1. zwischen 

 welchen ^a_i liegt, ist rr/,_i -— 1 die nächstliegende. Wenn also 

 in der Reihe «,,«2,. •• das erste Glied, welches den Wert 1 hat, 

 ai^ ist, so darf man aus der Gleichung: 



(4) X = (^0. n^, . . . «/,_!, \,x') 

 schliessen, dass: 



