L' ber die Kettenbrüche, deren Teilnenner arithmetische Reihen bilden. 63 



(5) X = («0» «,,... öfc-i + 1, X + 1) 



ein Teil der Entwicklung von x nacli nächsten Ganzen ist. 



Wendet man diese Bemerkung wiederholt an, zunächst auf 

 die regelmässige Entwicklung von x -1- 1 = ('//.+ 1 ^- 1, «fc+2, • • •) 

 u. s. f., so wird man nach und nach zu der Entwicklung von x 

 nach nächsten Ganzen in ihrer ganzen Ausdehnung gelangen. ^) 



Es sei beispielsweise aus der regelmässigen Entwicklung 

 von x = yio: 



x = (3, 1, 1, 1, 1, 6) 



die Entwicklung dieser Zahl nach nächsten Ganzen abzuleiten. 

 Man hat dann folgende Gleichungen zu bilden: 



x = (3, 1, .7.'), X \l= (2, 1, x"), X + 1 = (2, 6, 1, x). 



Aus diesen findet man der Reihe nach: 



X = (4 x + 1), :c' + 1 = (3, x" + 1), a^" + 1 = (2, 7, x + 1), 



sodass die Entwicklung von ylo nach nächsten Ganzen lautet: 



Vl3 = (4,3,2,7)- 



Offenbar wird allgemein, wenn die regelmässige Entwicklung 

 von X periodisch ist, wenn also x eine quadratische Irrationalität 

 ist, auch die Entwicklung von x nach nächsten Ganzen eine perio- 

 dische sein. (Vgl. Minnigerode. Ueber eine neue Methode, die 

 Pell'sche Gleichung aufzulösen, Göttinger Nachrichten aus dem 

 Jahre 1873.) Als weitere Beispiele betrachte ich die Entwicklungen 

 der Zahlen e und e-. Transformiert man nach der obigen Methode 



') Eine eingehende Untersuchung der Kettenbruchentwicklung nach 

 nächsten Ganzen hat der Verfasser in Bd. 12 der Acta mathematica (1889) 

 vei'öffentlicht. Mit Hülfe der oben angegebenen Transformation der i-egel- 

 mässigen Kettenbruchentwicklung in die nach nächsten Ganzen lassen sich 

 manche Sätze, die für die erstere Entwicklung gelten, auf die letztere über- 

 tragen. Indessen dürfte es schwierig sein, auf diesem Wege die a. a. 0. be- 

 wiesenen tiefer liegenden Sätze über die Entwicklung nach nächsten Ganzen, 

 insbesondere den merkwürdigen Zusammenhang dieser Entwicklung mit einer 

 nach ganz anderem Gesetze gebildeten zu entdecken. 



