Beweis einiger Sätze von Oliasles über kon fokale Kegelschnitte. 



Von 

 Theodor Reye in Strassburg. 



1. Bezüglich eines Kegelschnittes sind bekanntlich zwei sich 

 rechtwinklig schneidende Gerade der Ebene nur dann konjugiert, 

 wenn sie die beiden Brennpunkte harmonisch trennen und somit 

 die Winkel zwischen den Brennstrahlen ihres Schnittpunktes 

 halbieren. Aus diesem Satze lassen sich alle bekannteren Brenn- 

 punkts-Eigenschaften der Kegelschnitte ableiten. In ihm ist als 

 Grenzfall der Satz enthalten: Zwei Gerade sind konjugiert bezüg- 

 lich eines Kegelschnittes, wenn sie sich in einem Brennpunkte 

 rechtwinklig schneiden. Wir nennen noch einige andere Fol- 

 gerungen '), die wir später benutzen werden. 



2. Die Halbierungslinien der Winkel zwischen zwei Tangen- 

 ten des Kegelschnittes sind konjugiert und zu einander normal ; 

 sie halbieren deshalb auch die Winkel zwischen den Brennstrahlen 

 ihres Schnittpunktes. Jede Tangente des Kegelschnittes bildet 

 gleiche Winkel mit den beiden Brennstrahlen ihres Berührungs- 

 punktes. Verbindet man einen Brennpunkt mit den beiden 

 Berührungspunkten und mit dem Schnittpunkte von zwei Tangen- 

 ten, so bildet die letztere Verbindungslinie gleiche Winkel mit 

 den beiden ersteren. Die Fusspunkte der Lote, die aus einem 

 Brennpunkte auf die Tangenten gefällt werden können, liegen im 

 Falle der Parabel auf der Scheiteltangente, im Falle der Ellipse 

 oder Hyperbel auf dem Kreise, der die Kurve in den Scheitel- 

 punkten der Hauptachse berührt. Die projektiven Punktreihen, in 

 denen zwei beliebige Tangenten des Kegelschnittes seinenTangenten- 

 büschel schneiden, werden aus jedem der beiden Brennpunkte -F,jP, 

 durch zwei gleiche und gleichlaufende Strahlenbüschel projiziert. 



') Vgl. Reye, Geometrie der Lage, 3. Aufl., I. S. 157 — 165 und 215—217. 



Vierteljahrsschrift d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. XLI, Jahelband II. 5 



