Beweis einiger Sätze von Chasles über konfokale Kegt-lschnitte. (57 



Ellipse, die andere eine Hyperbel, falls nicht beide Parabeln sind ; 

 denn ihre Tangenten g, r/j trennen die Brennpunkte harmonisch, 

 die eine schneidet also die Hauptachse zwischen den beiden Brenn- 

 punkten und berührt in P die Hyperbel, während die andere in P 

 die Ellipse berührt. Eine beliebige Gerade g berührt einen der 

 konfokalen Kegelschnitte; sie wird in dem Berührungspunkte von 

 ihrer konjugierten Geraden g^ rechtwinklig geschnitten. 



5. Den Strahlen eines beliebigen Punktes U der Ebene sind 

 bezüglich der konfokalen Kegelschnitte die Tangenten einer Parabel 

 konjugiert (vgl. 8.); die Polaren von ?7 bezüglich je eines der Kegel- 

 schnitte berühren dieselbe Pai-abel. Die Pole von zwei beliebigen 

 Geraden g, h bezüglich je eines der konfokalen Kegelschnitte sind 

 folglich homologe Punkte von zwei projektiv ähnlichen Punkt- 

 reihen giJii- — Die Parabel berührt auch die Achsen der konfokalen 

 Kegelschnitte, und in U schneiden sich zwei ihrer Tangenten 

 rechtwinklig (4.). Die Punkte, in denen die Strahlen von i^ je 

 einen der konfokalen Kegelschnitte berühren und zu je einem 

 anderen normal sind, liegen auf einer Kurve dritter Ordnung, die 

 sich selbst in t/" rechtwinklig schneidet. Diese Kurve wird erzeugt 

 durch den Strahlenbüschel f/und den zu ihm projektiven Tangenten- 

 büschel der Parabel. 



H. Andere weniger bekannte Eigenschaften konfokaler Kegel- 

 schnitte hängen mit Vierseiten zusammen, die Kreisen umschrieben 

 sind. Zunächst beweisen wir den Satz : 



„Die vier Brennstrahlen von zwei beliebigen Punkten 0,0^ 

 .eines Kegelschnittes berühren einen Kreis." 



Ist nämlich M der Schnittpunkt der Tangenten von G und ö, , 

 und sind F,F^ die beiden Brennpunkte (Fig. 1), so bildet FM gleiche 

 Winkel mit FG und FG^ (2.), und .1/ hat gleichen Abstand von FG 

 und FG^ , ebenso aber von F^ G und b\ G^ . Weil aber die Tangente 

 GM gleiche Winkel mit den Brennstrahlen ihres Berühiung.s- 

 punktes G bildet, so hat M auch von FG und b\G und folg- 

 lich von allen vier Geraden FG, FG^, FiG und l'\Gi gleichen 

 Abstand. Diese vier Brennstrahlen werden also von einem Kreise 

 berührt, dessen Mittelpunkt M ist. 



7. Wenn G^ den Kegelschnitt beschreibt, so ändert sich der 

 Kreis, indem er die Geraden FG und F, (? beständig berührt : sein 

 Mittelpunkt beschreibt die Tangente von G. Daraus folgt : 



