Beweis einiger Sätze von Chasles über konfokale Kegelschnitte. 71 



(semblables). wenn ihre Pole auf einem mit /: konfokalen uml k 

 umschliessenden Kegelschnitt liegen. Xacii Chasles gelten dann 

 u. a. folgende Sätze: 



I. „Die Differenz von zwei vergleichbaren Kegelschnittbögen 

 „ist rektifizierbar; sie ist nämlich gleich der Summe der 

 „Schenkel des einen vermindert um die Summe der Schenkel 

 „des anderen Bogens. Die Tangenten der vier Endpunkte 

 „von zwei vergleichbaren Bögen berühren einen Kreis." 

 II. „Wenn zwei vergleichbare Bögen eines Kegelschnittes k 

 „in einem Endpunkte zusammenstossen, so ist ihre Diffe- 

 „renz gleich der Differenz der Schenkel ihrer Bogensumme. 

 „Der gemeinschaftliche Endpunkt liegt mit dem Pole dieser 

 „Bogensumme auf einem mit k konfokalen Kegelschnitt. 

 „In ihm wird k von einem Kreise berührt, der mit k auch 

 „die Tangenten der anderen beiden Endpunkte gemein hat." 

 12. AVir wollen diese Sätze beweisen. Zwei vergleichbare 

 Bögen PQ und 1\ Q^ von k werden nach einem vorhin bewiesenen 

 Satze (9.) in ihren Endpunkten von vier Tangenten eines Kreises 

 berührt, weil ihre Pole A und .4i, in denen je zwei dieser Tan- 

 genten sich schneiden, auf einem mit k konfokalen Kegelschnitt k^ 

 liegen. Die Tangenten AP und AQ (Fig. 2) mögen den Kreis in 

 P' und (/ berühi'en, ferner die Tangente A^ P, in resp. C und J5j , 

 die Tangente AiQ^ aber in resp. B und C, schneiden; von ^-Ij Pj 

 und Ai Qi werde der Kreis in P^' und (^, ' berührt. Dann sind 

 AAj, PP| und t'C, die drei paar Gegenpunkte des Tangenten- 

 vierseits. Wenn ^4, auf k\ unendlich nahe an A hinanrückt, so 

 wird der Kreis verschwindend klein, und es vereinigen sich noch 

 zwei Gegenpunkte B, B^ mit A\ zugleich fallen die übrigen beiden 

 Gegenpunkte C\ C, mit resp. P und Q zusammen. 



Nun ist bei beliebiger Lage von A und J., auf k^ (vgl. Fig. 2) : 

 CA-^ACy = CP 4- Q'C, = CP,' 4- Q,'C\ = CA, + A,C, : 

 Die Gleichung CA -}- JiC, = CA, + ^4) C, aber lässt sich schreiben: 

 (PA - PC)-\-{AQ + QC,) = (CP, + P, A.) 4- {A,Q, - C, Q,\ 

 woraus folgt: 

 {PA-^AQ)-{PC+CP,) = {P,A, -:-A.QJ-(QC. -t-C\(^,) 

 In dieser Gleichung fallen, wenn .4 und .4, auf /,-, unendlich nahe 

 beieinander liegen, die Streckensummen PC + CP, und QC, -r C, Q, 



