Beweis einiger Sätze von Chasles über konfokale Kegelschnitte. 73 



k hinanrückt, so vereinigen sich die beiden Tangenten B^ I\ und 

 Z?i Q von l{ mit der Tangente des Punktes S, und ihre Berührungs- 

 punkte P, und Q fallen mit S zusammen; der dem Vierseit ein- 

 geschriebene Kreis aber geht über in einen Kreis, welcher den 

 Kegelschnitt k in S, ausserdem aber die beiden Tangenten BP und 

 BQj von k berührt. Zugleich gehen die Punkte A, A^ über in die 

 Pole A' ,A\ der Kegelschnittbügen FS und 6'(^, , und da sie nach 

 wie vor auf einem mit k konfokalen Kegelschnitt liegen, so sind 

 diese beiden Bögen vergleichbar. Nach Gleichung 1. ist also: 



PS — 'SQ, = PA' -^ A' S - iSA,' -rA.'Q,) 



Die Tangenton A' S und SA/ aber sind gleich den resp. 

 anderen Tangenten, die von .-1' und A^' an den Kreis gehen, und 

 folglich wird: 



ÄS- SA,' = AB— SA,'. 



Die vorige Gleichung geht dadurch über in: 



II PS - SQ, = PB — BQ, ; 



die Sätze tl von Chasles aber sind hiemit bewiesen. 



14. Addiert man auf beiden Seiten der Gleichung I. einen 

 Bogen KL, der PQ und P\ Q, überdeckt (vgl. Fig. 2), so ergiebt 

 sich aus I ohne weiteres der Satz : 



„Wird ein unendlich dünner Faden von gegebener Länge 

 „mit seinen Endpunkten K, L an einem Kegelschuitte k 

 „befestigt und durch eine beAvegliche Spitze so gespannt, 

 „dass er mit seinen beiden Enden • an k sich anlegt, da- 

 , zwischen aber mit zwei in .4. sich schneidenden Tangen- 

 „ten zusammenfällt, so beschreibt die Spitze A bei ihrer 

 „Bewegung einen mit k konfokalen Kegelschnittbogen. ** 

 Der Satz gilt auch für den Fall, dass k eine Hyperbel ist 

 und K, L auf verschiedenen Hyperbelzweigen liegen: doch unter- 

 drücken wir den Beweis für diesen Fall. 



Wird ein geschlossener Fadeu um eine Ellipse gelegt und 

 wiederum durch eine sich bewegende Spitze A gespannt gehalten, 

 so beschreibt A eine mit jener konfokale Ellipse. 



15. Wenn auf einem Kegelschnittzweige /.■ zwei an einander 

 grenzende Bögen PQ und (^i mit den resp. amleren P, f^, und (^, /i, 

 vergleichbar sind, so ist auch ihre Bogensumme J^li mit P, A*, 



