Zur Theorie der Strahlensysteme. 77 



Hierbei bedeuten i', /^. -' die Richtungskosinus eines der beiden 

 durch P gehenden Strahlen des Systems, und es ist zur Abkürzung 

 sresetzt : 



TT = ]/ («-»)(/>- ?t)(o-») y ^ y {a-v){b-v){c-v) 



] (\-u){u-ll) ' I (X-V){u-V) ' 



Ist r die Entfernung des Punktes P von dem Berührungs- 

 punkte des Strahles (i", ?,, L') mit der Fläche («), so gilt die ein- 

 fache Formel: 



u — v 



'^ — Jj^rp^' 



und die Mittelpunktstläche des zu (A) und (,«) als Brennfläehen 

 gehörigen Strahlensystems wird alsdann durch folgeride Gleichungen 

 dargestellt: 



, 1 - , ,1 , , 1 - 



insofern x, y , z den Mittelpunkt der Strecke r bezeichnen (vergl. 

 die oben erwähnte Abhandlung im 104. Bande von Crelle's 

 Journal). 



Man kann aber auch ganz direkt und auf elementarem Wege 

 zu einer einzigen Gleichung zwischen x , y , z gelangen. Zugleich 

 lässt sich die Aufgabe dadurch verallgemeinern, dass man die 

 Voraussetzung, die Brennllächen seien konfokal, fallen lässt und 

 allgemein nach den Mittelpunktsflächen derjenigen Strahlensysteme 

 fragt, deren Brennfläehen sich aus zwei konzentrischen Flächen 

 zweiten Grades mit den Gleichungen : 



a^x^ -\-h^iß -^ c^z^ -\- d^ =0, 

 «2 x"' + io \ß + c.y zr -\- d., ^^ 0, 



oder abgekürzt /, — und f., - 0, zusammensetzen. 



Eine gemeinschaftliche Tangente der Flächen/^ = und/o = 

 möge diese in den Punkten 1\ und L\ mit den Koordinaten Xy, v/, , z, 

 und .r._,, v/o, Zo berühren, der Mittelpunkt P von P^ und /o habe 

 die Koordinaten x, y, z. Dann gelten die Gleichungen: 



