Zur Theorie der Strahlensysteme. 79 



Dieselbe Gleichung n;^ = 4 p 9' ist daher auch die Gleichung 

 der gesuchten Mittelpunktsfläche, sobald man a,, =^ «i etc., 

 «,', = rt, etc , £, = (ixX etc., ^'i ^= 02 jc etc. setzt. Für 9, 0' und 

 71 erhält man alsdann die folgenden Ausdrücke : 



9 = 6, Ci (a, /o + a., /i )- X' — • • — '/, /, (l^i c, — ioC, )- //"'* s" — • • 



9' ^ i.jc, (a, f., H- a^ /, )^ .c- -\ — — a., /o (i, c, — i^ cj^ //- ^'- — • • 



n = (6j c, + bo c, ) («1 /o - ^^2 ./"i )' -^'^ 



— («1 /i -+- «2./1) (^1 ^2 — ^2 ci )- .y^2^ 



Auch ohne die Struktur der Gleichung :;r^ = 499' weiter zu 

 verfolgen, erkennt nuui, dass die Mittelpunktsfläche von /, = 

 und /o =^ eine Fläche zwölfter Ordnung ist. Da ferner o, q 

 und TT sich als lineare Formen von /, und /o schreiben lassen, so 

 kann man die Gleichung jt"^ = 4 q q' in der Form darstellen: 



d. h. die Mittelpunktsfläche geht durcli die Schnittkurve von /, = 

 und /o — hindurch, und diese Schnittkurve ist zugleich eine 

 Doppelkurve unserer Fläche. 



Von (Un mannigfachen Specialfällen, die man din-ch besondere 

 Wahl von /, = U und /o = erhalten kann, seien hier noch zwei 

 hervorgehoben. Es möge nämlich zunächst f\ = in einen Kegel- 

 schnitt, etwa in a, x' -{- Ci z^ -^ d^ = 0, degenerieren. Die Mittel- 

 punktsfläche des Strahlensystems, dessen Brennflächen sich aus 

 diesem Kegelschnitt /, = und der Fläche /g = zusammensetzen, 

 Avird dann bestimmt du)-ch Elimination der Grössen x'i , z, , .x'j, //.2. ^2 

 aus den Gleichungen : 



ai x\ -\- Ci z\ -1- c7i ^= 0, 



a, xi\ -f- ^2 2/2 H~ Ca z\ H- ein = 0, 



a. xx,-\-b. y iji + c,. z z, + di — 0, 



„ _ -^1 + PC., _ //, ^1 +2i 



X — . 2 ^ U — 2' "^ ~ 2 ' 



