80 Ferdinand Rudio. 



Das Ixcsiiltat lässt sich in die Form l)iing(.'ii : 

 {l -+- »j - • n)" = 4 ^ Vi, 

 wiüii iiuiii zur Ahkürziing setzt: 



l = al X' (ci d, — c, (-U — 4 Ci Z'^), 

 m = d z' («i dl — a, d, — 4 a,/j), 

 n = («i d — a< c,) {d, — -/.')'. 



Die Gleichung (/ -h m r nf ^ \ l n der Mittelpunktsfläche 

 zeigt eine gewisse Analogie mit den Gleichungen g)" = 4 y/' li^ der 

 von Kummer (im 64. Bd. von Crelle's Journal) untersuchten 

 Flächen vierter Ordnung. Diese Analogie findet ihren Ausdruck 

 insbesondere in der Existenz von Doppelkurven. Unsere Fläche 

 ist von der achten Ordnung und besitzt zwei Doppelkurven, welche 

 durch die Gleichungen : 



X = 0, m -{- n ^= 

 und 



Z ^ 0, 1—71 = 



dargestellt werden. Die Realität dieser Doppelkurven hängt von 

 den Koeffizienten von /, = und f, = ab. 



Die Fläche ist überdeckt von einer Schar von Kegelschnitten 

 derart, dass durch jeden ihrer Punkte ein Kegelschnitt hindurch- 

 geht. Sie lässt sich also durch die Bewegung eines sich stetig 

 detorniierenden Kegelschnittes erzeugen, der jeweilen einem be- 

 stimmten Punkte von /i == zugeordnet ist und dessen Grösse 

 und Lage durch den von diesem Punkte an /". = gelegten 

 Berührungskegel definiert werden. 



Geht endlich auch noch /, = ü in einen Kegelschnitt übei'. 

 etwa in aoJ'~-h.,y--\-d., =0, so erhält man durch Elimination 

 von x^, Zy, Xo, y.i aus den Gleichungen: a, x'l + c\ z'f + (^i = 0, 

 a, x\ H- ^2 yl -\- di = 0, 2 it; = x, -h Xo, 2 y — yi, 2 z = 2 z, die 

 Gleichung der Mittelpunktsfläche desjenigen Strahlen.systems, dessen 

 Brennlhiieu J\ — ^ und f\ = sind. Die Gleichung stellt sich 

 in der Form dar: 



insofern mau setzt: 



