Darstellung der Fresnel'schen Wellenfläclie ilurch elliptische Funktionen. 89 



Wir haben die Quadratwurzeln so dargestellt, dass sie alle 

 reell werden. Gibt man allen das positive Zeichen, so cM-liält man 

 die Punkte des positiven Oktanten. 



Durch logarithmische Differentiation der ersten (Tleichung (33) 



folgt: 



.. , JCtdp , a x, (Iq 



— 2 (l J-, = -f- 



a—jy qid — a)' 



oder nach (26) : 



._ ^^ ^ \äbj; / iclp , Ulq \ 

 ^ 2\q ^'l(/i' — y) ' qdl — q)/' 



woraus nach (lo) für das Quadrat des Linienelenientes auf dem 

 äusseren Mantel : 



4^/1^ a-{a—pr q- vi — qri 

 und endlich nach (17): 



(35) dsi = ^4- (d ö-^-f^ ^j-^), 

 und ebenso für den inneren Mantel: 



(36) dsi = 4" {do^^ - ¥ 2; %f-<\ 

 ^ ^ p^ \ 4 «' [a — qY ) 



Hieraus ergibt sich, dass die Kurvenscharen p = konst. 

 fy = konst. auf beiden Mänteln orthogonale Scharen bilden. 

 Die durch diese Kurvenscharen vermittelte Abbildung der Wellen- 

 Hache auf das Ellipsoid ist aber nicht in den kleinsten Teilen 

 ühnlich. 



Die Formeln (33), (34) sind nun geeignet, uns ilio Koordinaten 

 a;jj,//,,z, und a?.,, ?/._,, z^, durch elliptische Funktionen darzustellen. 

 Man braucht dazu Funktionen mit zwei verschiedenen Moduln, 

 und l)edient sich am besten der Jacobi'schen Bezeichnung. 



\Vir betrachten zunächst den äusseren Mantel, und weiulen 

 zwei verschiedene lineare Substitutionen an, die durch die Zusani- 

 meiigeh("trigkeit der Varial)len :c, //, wie sie die folgenile Zusammen- 

 stellung zeigt, charakterisiert sind: 



