Darstellung der Fresnerschen Wellenfliiche durch elliptische Funktionen. 91 



1 f V" 



27 V(a-ar) 



^ ^ , , " — c dx 



27 V (« — ar) (^ — b) {X - r)' 



b 



/ ^ ^ f ^' (" ~ ^) ^ ^^^ 



" ~ 2 J V ;r (a - .r) (& - ,r) (.r — r) 



c 



bedeuten. 



Die entsprecheiidon Ausdrücke für den inneren Mantel kann 

 man auf dem gleichen Wege herleiten. Man kann aber auch die 

 l'ormeln (35) auf den inneren Mantel anwenden, wenn man x = (j 

 in I. und x ^= p in II. setzt. Dies kommt darauf hinaus, dass 

 man die Variablen u, v in (35), nicht die Intervalle 0, K und 0, />, 

 sondern die Intervalle K, K-r i A'' und L, L ^- i IJ durchlaufen 

 lässt. (wenn Ä"', L' wie gewöhnlich die vollständigen Integrale 

 für die komplementären Moduln x' und A' bedeuten). Dann erhalten 

 u, c imaginäre Werte und man kann die reellen Ausdrücke durch 

 die bekannten Transformationsformeln der elliptischen Funktionen 

 linden, wenn man u. d durch K -\- i K' — in, L-\-iL' — ic> er- 

 setzt, und dann a von bis K' , v von bis L' gehen lässt. So 

 ergeben sich mit Anwendung der bekannten Formeln: 



s n (A'-i • i K' — in) = — - dn{u, x ), 



c n (A" -f- ' A' — /' u) = -^ c n {u, x'), 

 d )i {K i Iv — i u) = h' s n («, x'), 

 für Xo, y.y, Z.2 die Ausdrücke: 



X,, = ] c du {u, '/) s n (v, X'), 

 [f., ^= '\ c % cn (», x') c n (y, A' ), 

 z.^ = 1 A .s- )i («, x') d II (r. A' ). 



Freudenstadt im August 1895. 



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