über die Anwendung der elliptischen Modulfunktionen auf einen, 

 Satz der allgemeinen Funktionentheorie. 



Von 

 A. Hurwitz. 



Der Satz von E. Picard*), nach welchem eine beständig kon- 

 vergierende Reihe sich notwendig auf ihr konstantes Glied redu- 

 ziert, wenn sie zwei endliche Werte nicht annimmt, hat durch 

 Herrn E. Landau") neuerdings eine sehr bemerkenswerte Verallge- 

 meinerung erfahren. Herr Landau beweist nämlich folgenden Satz : 



„Wenn die Potenzreihe 



^ (x) = a^-ha^ X -r- «2 ^^ + (fl^i =h 0) 



in dem Kreise \x\ <r konvergiert und in diesem Kreise weder den 

 Wert noch den Wert 1 annimmt, so liegt /• unterhalb einer ge- 

 wissen endlichen positiven Grösse A, die in eindeutiger Weise von 

 den beiden ersten Koeffizienten a^ und % der Potenzreihe ^^ (x) 

 abhängt. " 



Diese Grösse k wird bei Herrn Landau durch fünf Unglei- 

 chungen definiert. Man kann aber, wie ich durch eine weitere 

 Ausführung des zweiten von Herrn Landau für seinen Satz gege- 

 benen Beweises fand, wesentlich einfachere Bestimmungen für die 

 Grösse A angeben. Den hierdurch gewonnenen Satz möchte ich 

 in den folgenden Zeilen begründen und daran den Beweis einiger 

 weiterer Sätze von ähnlichem Charakter anknüpfen. 



1. 



Zunächst muss ich an einige Sätze aus der Theorie der ellip- 

 tischen Modulfunktionen erinnern^). 



') Memoire sur les fonctions entieres, Annale? de l'Ecole Normale Supe- 

 rieure, serie 2, t. IX (1880), p. 145. 



^) Über eine Verallgemeinerung des Picardschen Satzes. Sitzungsberichte 

 der kgl. preussischen Akademie der Wissenschaften vom 21. Juli 1904. 



^) Einfache Beweise dieser Sätze finden sich in meiner Arbeit: „Über die 

 Theorie der elliptischen Modulf unktionen", Mathematische Annalen, Bd. .58, S. 34-3 ff. 



