über die Anwendung der elliptisclien Modulfunktionen etc. 



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Es seien cjj und a.^ zwei komplexe Variable, welche nur der 

 einen Einschränkung unterworfen sind, dass die zweite Komponente 

 V des Quotienten 



CO = —^ ^ K -h iv (1) 



positiv und folglich der absolute Betrag von 



2 in CO 



— 2nv 2iJtu 



e e 



(2) 



kleiner als 1 ist. In der Ebene der komplexen Variabein a sei 

 G dasjenige Gebiet, welches durch die Ungleichungen 



w>0, «2 + f2>l, 





iG) 



bestimmt ist. Dabei sollen von den Randpunkten diejenigen, die 

 eine positive erste Komponente u besitzen, nicht zu dem Gebiete 



G gerechnet werden. 



Setzt man nun 



^ = j (o„ 0,,) = (^)" hn(i - hT, 



g, = g, («, , «,) = (— ) |_^^ - y^ Z^ f- -^—^ J 



(ß) 



so besitzt 





(4) 



angesehen als Funktion von to, folgende Eigenschaften : 



1. J" ist in dem Gebiete v>0 eine eindeutige, reguläre analy- 

 tische Funktion, welche die Achse der reellen Zahlen v = zur 

 natürlichen Grenze besitzt. 



2. J nimmt jeden Wert ein und nur einmal an, wenn co 

 jede Lage in dem Gebiete G erhält. Den speziellen Argumenten 



2in 



cj=e ^ , co = i,a) = oo entsprechen die Funktionswerte /= 0, 1, oc 

 bezüglich. 



3. Die Gleichung J(w') = ^(w) ist dann und nur dann erfüllt, 

 wenn es vier ganze Zahlen a, ß, y, d der Determinante ad — ßy=- 1 

 gibt, welche der Gleichung 



